Практический гармонический анализ

Ряды Фурье

Функциональный ряд вида

или, более сжато, ряд вида

называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа a₀, a_n, b_n называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом 2π, так как и являются периодическими функциями с периодом 2π.

Таким образом,

Пусть периодическая с периодом 2π функция f(x) такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда (2). Это, например, будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е. сходится положительный числовой ряд

(3)

Тогда ряд (1) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать в промежутке от -π до π. Используем это для вычисления коэффициента а₀.

Проинтегрируем обе части равенства (2) в пределах от -π до π:

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

Следовательно,

откуда

Для вычисления остальных коэффициентов ряда потребуются некоторые определенные интегралы, которые были рассмотрены предварительно.

Если n и k - целые числа, то имеют место следующие равенства; если n≠k, то

если же n=k, то

Вычислим, например, первый интеграл из группы (I). Так как

то

Подобным образом можно получить и остальные формулы (I). Интегралы группы (II) вычисляются непосредственно. Теперь можно вычислить коэффициенты a_k и b_k ряда (2). Для разыскания коэффициента при каком-либо определенном значении k≠0 умножим обе части равенства (2) на cos kx:

Ряд, получившийся в правой части равенства, мажорируем, так как его члены не превосходят по абсолютной величине членов сходящегося положительного ряда (3). Поэтому его можно почленно интегрировать на любом отрезке.

Проинтегрируем равенство (2') в пределах от –π до π:

Принимая во внимание формулы (II) и (I), видно, что все интегралы в правой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом a_k. Следовательно,

откуда

Умножая обе части равенства (2) на sin kx и снова интегрируя от - π до π, найдём

откуда

Коэффициенты, определенные по формулам (4)-(6), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд (1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f(x).

Практический гармонический анализ

Во многих случаях точное определение коэффициентов Фурье функции f(x) становится затруднительным или невозможным. Это происходит в случае, когда функция задана сложным аналитическим выражением, которое не позволяет найти значения соответствующих интегралов, а также когда функция задается графически или с помощью таблицы. При этих условиях можно искать лишь приближенные значения коэффициентов Фурье. Для практических целей в большинстве случаев достаточно знать лишь несколько первых коэффициентов. Вопрос о способах приближенного вычисления коэффициентов Фурье имеет важное значение и является содержанием так называемого практического гармонического анализа. Эти способы основаны на применении к выражениям a_n и b_n (n=0, 1, 2,…) формул приближенного вычисления интегралов. Если воспользоваться способом прямоугольников, разделив сегмент [0,2π] на m равных частей точками

0, при условии, что известны соответствующие значения функции: y₀,y₁,…,y_m, то получим следующие приближенные равенства:

, n=0, 1, 2, …,

, n=1, 2, …

При m=12 (случай двенадцати ординат) для вычисления коэффициентов можно воспользоваться следующей схемой:

	y0	y1	y2	y3	y4	y5	y6
		y11	y10	y9	y8	y7
Сумма	u0	u1	u2	u3	u4	u5	u6
Разность		v1	v2	v3	v4	v5

	u0	u1	u2	u3
	u6	u5	u4
Сумма	s0	s1	s2	s3
Разность	t0	t1	t2

	v1	v2	v3
	v5	y4
Сумма	σ0	σ1	σ2
Разность	τ1	τ2

Получив указанные величины, можно записать:

=

=

1.2 Ряд Фурье для периодических функций с произвольным периодом

Пусть функция f(x), определенная на отрезке [-l;l], имеет период 2l и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

Сделав подстановку , данную функцию f(x) преобразуем в функцию , которая определена на отрезке [-π; π] и имеет период T=2π.

Разложение функции в ряд Фурье на отрезке [-π; π] имеет вид

где

Возвращаясь к переменной x и заметив, что , получим

где

Такой ряд называется рядом Фурье для функции f(x) с периодом T=2l.

Дата добавления: 2015-12-07