Читайте также: |
|
Свойства склочного произведения
1. х•у=у•х
2.(Сх)•у=Х•(Су)=С•(ху)
3. (х+у)•z=xz+xy
4. x•(y+z)=xy+xz
Свойство длины вектора
1. ||х^||=х•х
2. ||х||>или= 0
3. ||х|| = 0, х=0
4. ||Сх||=|С| • ||х||
Неравенство Коши-Буняковского
|ху|<или=||х||•||у||
Неравенство треугольника
(||х+у||)^=(||х||+||у||)^
16. Ортогональные векторы(перпендикулярные)
а•в=0
Теорема Пифагора
а ортог. В
||а+в||^=||а||^+||в||^ где а,в принадлежатR^
Угол между векторами
-это число из промежутка [0;П], cos =_а_•_в_
||а||• ||в||
18. Сложение матриц
(А+В)ij=(А)ij+(В)ij
свойства:
1. А+(В+С)=А+В)+С
2 А+В=В+А
3. с(А+В)=сА+сВ
4. (а+в)А=аА+аВ
Умножение матриц
(сА)ij=c(A)ij
19. Определение умножение матриц. (АВ)ij=(Аij•(B)1j+(A)i2•(B)2j+...+(A)ie•(B)ej
Экономический пример.
у нас есть 3 вида продукции р1,р2,р3 и 2 вида сырья s1,s2.
у нас есть пара расхода сырья
А=| 601 | S1
| 123| S2
В=| 16 |
| 10 | нужно выпустить продук.
| 3 |
6•16+0•10+1• =99
1•16+2•10+3•3=45
ответ: АВ|99|
|45| валовый продукт
20. Матричная запись системы лин уравнений
АХ=В
21.Уравнение межотраслевого баланса.
a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn + y1 = x1
a21x1 + a22x2 +… + a2nxn + y2 = x2;
………………………………..................
an1x1 + an2x2 + …+ annxn + yn = xn
AX + Y = X
X-вектор валового выпуска
Y-вектор конечного потребления
А-матрица прямых затрат
22.Свойства умножения матриц.
1)С(АВ)=(сА)В=А(сВ)
2)А(В+С)=АС+АС
3)(А+В)С=АС+ВС
4)(АВ)С=А(ВС)-ассоциативность умножения
5)АЕ=А 6)ЕА=А
23.Транспонирование. Свойства.
Пусть А-матрица размера m*n.
Транспонированная к ней матрица имеет
размер n*m (АТ)ij=(A)ij Свойства:
1)(АТ)Т=А 2)(А+В)Т=АТ+ВТ
3)(сА)Т=сАТ 4)(АВ)Т=ВТАТ Док-во 4св-ва:
Пусть А размера k*l; В-размера l*m;тогда АВ-k*m
(АВ)T-m*k; ВТ-m*l; АТ-l*k;ВТАТ-m*k;((AB)T)ij=(AB)ji=
=∑ls=1(A)js*(B)si=∑ls=1(B)si*(A)js= ∑ls=1(B)isT*(A)sjT=(BTAT)ij
24.Определение обратной матрицы.Единственность.
Пусть А и-Кв. матрица порядка n. Тогда кв.матрица
В порядка n.-обратная, если АВ=Е и ВА=Е.
Единственность. У всякой обратимой матрицы.
есть единственная обратная. Док-во:
В1В2-обратные матр.кА
АВ1=В1А=Е В1(АВ2)=В1
АВ2=В2А=Е (В1А)В2=ЕВ2=В2
В1=В2
25.Свойства обратных матриц:
1)Если А обратима, то и обр.матр.обратима
И обратная к обратной=А
2)Если матр. А и В обратимы, то АВ тоже
и (АВ)-1=В-1А-1
3)А1,...,Аn-обратимые матр.,то А1,...,Аn-обратимы
и (А1,...,Аn)-1=А1-1,...,Аn-1
4)Если Аобратима, то А-1-обратима,(АТ)-1=(А-1)Т
5)Аобратима,Внеобр.,то АВ-необр. Док-во:
От противн.:АВ-Обрат.;АВ=С-обрат.матр.
А-1(АВ)=А-1С
(А-1А)В=А-1С
В=А-1С-противоречит
26.Решение матричного уравнения АХ=Е
1)случай:редуцированная матр.совпадает с Е
Элемент.преобраз.строк матрицы А привести к Е.
[А|Е]-> [Е|В] В-матр.,для которой выполняется
равенство АВ=Е [В|Е]- >[Е|?]
2)случай;Редуц.ступ.матр.содержит нулевую строчку
[A|E]->[00000000|...] Тогда А не имеет обратной матр.
27.Три условия равносильных обратимости кв.матр.
А-кв.матр 1)А обратима 2) А приводится к Е
3) СЛОУ матрицей коэф.которой является Аимеет только нул.реш.
28.Продуктивная матрица.Необход.и достат.условие неотриц.матр.
Неотр.матр.А наз.продуктивной если для люб.неотриц.столбца У сущ.
Неотр.решение уравнения баланса Х=АХ+У
Теор: Матр.А продуктивна <=>если (Е-А)-обратима и (Е-А)-1-неотр.
Док-во:Х-АХ=У ЕХ-АХ=У (Е-А)Х=У Х=(Е-А)-1У Если У-неот, то и Х
29.Связь между реш. СЛУ и и соотв.СЛОУ
1)Пусть Х1Х2-решение СЛУ
АХ1=В АХ2=В АХ1-АХ2=0 А(Х1-Х2)=0 Х1-Х2-решение сист.АХ=0
2)Пусть Х1-реш.сист. АХ=В,Н-реш. АХ=0
А(Х1+Н)=АХ1+АН=В+0=В Х1+Н-реш.АХ=В
Всякое реш.ур.АХ=В можно получ.прибавляя к всевозм.реш.ур.АХ=0
фиксир.реш.ур.АХ=В
30.Определение ранга матрицы:
-число строк в любом макс.ЛН наборе строк матрицы
Т:пусть матр.В получ.ЭП из матр.А,тогда r(A)=r(B)
Т:Ранг ступ.матр.-число ненул.строк после ЭП
Теорема Кронекера-Капелли
"Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы."
Определение определителя квадратной матрицы
detA=a11·M11-a21·M21+...+(-1)n-1amMm,где М11-определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием всех элементов первой строки и первого столбца, М21-определитель матрицы, полученный вычеркиванием всех элементов 2 строки и 1 столбца.
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 70 | Нарушение авторских прав