Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций на отрезке.

Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала и непрерывна справа в точке и слева в точке .

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем. (Необходимо доказать, что существует , что для всех выполняется .).

Доказательство (от противного). Пусть для всякого найдется такая точка , что : для найдется ; для найдется и т. д..…для найдется и т. д. Итак, построена последовательность такая, что для всех : . Ясно, что . Последовательность , т. е. ограничена. Следовательно, по теореме Больцано – Вейерштрасса (!!!!), существует подпоследовательность такая, что . Так как функция непрерывна на отрезке , она непрерывна и в точке . Итак, имеем , но по построению , что является противоречием.

Пример. На интервале теорема, вообще говоря, неверна. Функция непрерывна на , но не ограничена на нем.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная функция на отрезке достигает в некоторых точках отрезка своих точных верхней и нижней границ, т.е. существуют такие,что

Доказательство. Докажем существование точки максимума функции , т.е. точки , в которой значение функции равно точной верхней грани множества значений функции . По предыдущей теореме (первая теорема Вейерштрасса) непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке, следовательно, ограничена сверху, например, числом , т. е. для всех . Тогда существует точная верхняя граница множества значений функции на отрезке , т.е. такое число , что 1) для всех ;

2) для любого существует точка . Возьмем последовательные значения Тогда построена последовательность . Эта последовательность ограничена. Следовательно, по теореме Больцано – Вейерштрасса (!!!!) из нее можно выделить подпоследовательность такую, что . Функция непрерывна в точке .

Следовательно, , но, с другой стороны, для всех выполняется . В силу свойства (Если для всех n и ,то ) сходящихся последовательностей заключаем, что . Итак, .

Замечание 6.2.1. Если функция разрывна, то теорема (вторая теорема Вейерштрасса), вообще говоря, неверна. Например, , (см. рис.). Значение, равное , функцией не достигается.

Дата добавления: 2015-12-07