Читайте также:
|
|
Производная функции.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Уравнение касательной к кривой:
Уравнение нормали к кривой: .
Односторонние производные функции в точке.
Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢
2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v
3) , если v ¹ 0
Производные основных элементарных функций.
1)С¢ = 0; 2) ; 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
13) 14) 15)
16)
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда
Производная показательно- степенной функции.
Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.
Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
т.к. g¢(y) ¹ 0 , , т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Дифференциал функции.
.
Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.
Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx.
Можно также записать:
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv
2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
4)
Формула Тейлора.
Теорема Тейлора.
1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:
это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 77 | Нарушение авторских прав