Вычисление производной по определению

Чтобы вычислить производную функции y=f(x) в точке , необходимо:

1) вычислить значение функции в фиксированной точке :

® f().

2) задать приращение аргумента х; получить точку + х, вычислить значение функции в ней:

+ х®f( + х);

3) найти приращение функции:

f=f( + х)-f();

4) вычислить отношение:

;

5) найти предел полученного отношения при х®0:

= = .

Пример:

7.1 Производная постоянной.

Пусть f(x)=C, c=const. Найти .

Решение.

1) Фиксируем ; вычисляем значение функции в этой точке:

= С; ®С;

2) задаем приращение аргумента х, получаем точку + х, вычисляем значение функции в ней:

+ х® f( + х)=С;

3) находим приращение функции:

f = f( + х)- f()=С-С=0;

4) вычисляем отношение:

5) находим предел:

=

Итак, =0.

7.2 Производная линейной функции.

Пусть f(x)=kx+b; к, b – постоянные. Найдем .

Решение.

Без комментариев проведем дифференцирование по шагам 1-5:

1) ® f()=k +b;

2) + х®f( + х)=k( + х)+b;

3) f=f( + х)-f()=k( + х)+b-(k +b)= k +k х-k =k х;

4)

5) =

Итак, =k; т. к. - фиксированная, но произвольная точка, то получим для любого х:

.

Упражнение:

7.3 Найти производные функций по определению.

а) f(x)= ; б) h(x)= ; в) (x)= ; г)p(x)= .

Правила вычисления производной

I. Производная суммы функций.

Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

.

Доказательство. Рассмотрим две дифференцируемые в точке функции . Найдем производную функции f(x)= в точке по шагам 1-5:

1) ® f()= ;

2) + х®f( + х)=U( + х)+V( + х);

3) f=f( + х)-f()=U( + х)+V( + )-(U()+V())=(U( + х)-U())+(V( + х)-V())= U+ V;

4) ;

5) = = + = .

Итак, = .

Аналогично для произвольной точки х из области дифференцируемости функций имеем:

= (7.3)

Задания: 1) Дайте словесный комментарий каждого шага 1-5; 2) почему возможны равенства в п. 5?

II. Производная произведения дифференцируемых функций вычисляется по формуле.

(7.4)

Следствие:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

III. Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

(7.5)

Формулы (7.4.), (7.5.) доказываются аналогично (7.3.)

Упражнение:

7.4 Используя правила вычисления производной, найдите производные следующих функций:

а) f(x)= ; б) h(x)= ; в) (x)= ; г) p(x)= .

Сравните метод решения с использованным в упражнении 3.1.

7.5 Найти производные функций:

а) 2х;

б) ;

в)

г) (х+1)(;

в) (х+1)(;

г) ;

д) .

Дата добавления: 2015-11-26