Вычисление объемов тел вращения

Пусть требуется вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: ) Составим интегральную сумму и перейдем к пределу.

С помощью произвольно выбранных точек разобьем отрезок на n элементарных отрезков длиной i = 1, 2, …, n. Через точки деления проведем плоскости перпендикулярно оси Ох. Получим n элементарных объемов тел вращения. На каждом элементарном отрезке выберем произвольно точку и вычислим значение функции . Каждое элементарное тело вращения заменим цилиндром с радиусом основания и высотой , объем которого равен . Объем всего тела вращения приближенно равен .Данная сумма является интегральной. Перейдем к пределу при , и получим точное значение объема или .Если тело образуется вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями: , , то его объем находится по формуле .

3. Интегральный признак Коши. Если члены знакоположительного ряда сумма Un, являющиеся значениями функции целочисленного аргумента , монотонно убывают и стремятся к нулю , то: 1) если сходится, то и ряд сумма Un сходится; 2) если расходится, то и ряд сумма Un расходится.

Д о к о з а т е л ь с т в о. , криволинейная трапеция ABCD,

,

,

Û .Левая часть: .При возрастании n частичные суммы ряда монотонно возрастают. также возрастает и ограничен величиной интеграла .Поэтому . По теореме Вейерштрасса существует предел . Следовательно, ряд сходится. Правая часть: Û .По условию теоремы . Если неограниченно возрастает, то и предел частичных сумм неограниченно возрастает и, следовательно, ряд расходится.

Билет 27.

1 Правила дифференцирования функций:

1. . 2. . 3. .4. . 5. .

Вывод формул дифференцирования показательной и логарифмической функции

.При нахождении производной логарифмической функции используем определение производной и второй замечательный предел.

.

В частном случае, когда a = e, .\

При нахождении производной показательной функции используем так называемое логарифмическое дифференцирование. Для этого логарифмируем равенство , получаем . Это равенство дифференцируем; при этом учитываем, что сложная функция.

.

В частном случае, когда a = e , .

Степенной функции найдем так же, используя логарифмическое дифференцирование.

.

В практических задачах часто встречаются производные от функций и , которые полезно помнить.

. .

2. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами

Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения

зависит от вида правой части этого уравнения (функции ) и от величин корней характеристического уравнения. .

Случай 1. Правая часть уравнения ,

Случай 2. Правая часть уравнения имеет вид

,

,

3. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и , то ряд сходится; причем .Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим и . .

разность в каждой скобке суммы больше нуля и эта сумма монотонно возрастает с увеличением числа членов 2 n.

.

Аналогично сумма монотонно убывает с увеличением числа членов 2 n и не превосходит первого члена ряда U1. следовательно .

Аналогично . .

Таким образом, предел частичных сумм знакочередующегося ряда существует, т. е. ряд всегда сходится, если его члены монотонно убывают и стремятся к нулю.

Частичные суммы знакочередующегося ряда меньше первого члена ряда

. Члены ряда стремятся к нулю , поэтому сумма ряда не может превосходить первого члена ряда .

Билет №28

Дата добавления: 2015-12-07