Задачи, приводящие к понятию производной

Учреждение образования

«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»

ВИТЕБСКИЙ ФИЛИАЛ

кафедра математики и физики

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

«МАТЕМАТИКА»

для студентов заочной формы обучения уровня ССО

всех специальностей

Витебск2007

Составитель И. А. Шестакова

Рецензент Е.Н. Ермаш

Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф

«20» марта 2006 г., протокол № 8

Зав. кафедрой Л.Л. Гладков

Задачи, приводящие к понятию производной

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки и протекание тока в электрической цепи и изучим связанные с ними понятия.

I Прямолинейное движение материальной точки (задача о мгновенной скорости)

Пусть материальная точка движется по прямой линии. На этой прямой выберем определенное направление, начало отсчета (точку ) и единицу масштаба (рис. 1).

Рис. 1

Каждому моменту времени соответствует путь , пройденный точкой от точки отсчета за время , то есть путь есть функция от времени

.

Эта формула называется законом движения точки .

Из всех движений материальной точки простейшим является равномерное движение по прямой (из курса физики известно, что прямолинейное движение точки называется равномерным, если точка за любые равные по длительности промежутки времени проходит равные пути).

Скоростью прямолинейного равномерного движения называется путь, пройденный точкой в единицу времени.

Из сказанного видно, что при равномерном движении скорость движения постоянна.

На практике автомобили, поезда, самолеты равномерно движутся лишь на некоторых участках пути, а в общем случае их движение неравномерное.

При неравномерном движении точка за разные, но равные по длительности, промежутки времени может проходить разные пути. Следовательно, неравномерное движение нельзя полностью охарактеризовать указанием пути, пройденного точкой за тот или иной промежуток времени. Поэтому для характеристики неравномерного движения точки используется понятие средней скорости.

Пусть материальная точка движется по закону (см. рис. 1). Если и , то средней скоростью движения за промежуток времени от момента до момента называется число

.

Рассмотрим свободное падение тел, которое происходит по закону , где – ускорение свободного падающего тела ( м/с²), – время (в секундах), – путь (в метрах). Вычислим путь, пройденный телом за первую секунду, то есть за промежуток времени от момента с до с.

м.

Следовательно, средняя скорость движения тела за первую секунду равна (м/с).

Вычислим теперь путь, пройденный телом за десятую секунду, то есть за промежуток времени от момента с до с

м.

Следовательно, средняя скорость движения тела за десятую секунду равна м/с.

Таким образом, свободное падение тел есть движение неравномерное, так как за разные, но равные по длительности, промежутки времени тело проходит различные пути. Заметим, что и средние скорости у свободно падающего тела за разные, но равные по длительности промежутки времени (например, от с до с и от с до с) различны.

Найдем теперь среднюю скорость свободно падающего тела за промежуток времени от начала падения, то есть от с до момента с

м/с.

Сравнивая средние скорости видим, что средняя скорость для всего промежутка времени от с до с отлична от средних скоростей для первой и последней секунды из указанного промежутка времени.

Получили, что если точка движется неравномерно, то, зная среднюю скорость для некоторого промежутка времени, невозможно установить скорость в какой-либо момент времени из этого промежутка. А это значит, что средняя скорость не может полностью характеризовать неравномерное движение, поэтому для его характеристики вводят понятие мгновенной скорости.

Пусть точка движется по закону . Тогда за промежуток времени длительности точка проходит путь, равный , со средней скоростью

.

Очевидно, что средняя скорость тем полнее характеризует движение за промежутки времени от до , чем меньше длительность этого промежутка.

Предел средней скорости за промежуток времени от до при , стремящемся к , называется мгновенной скоростью в момент времени , то есть

.

Пример: Найдем мгновенную скорость в момент времени свободного падения тела.

Решение: Так как свободное падение тела происходит по закону , то мгновенная скорость равна:

То есть при свободном падении тело движется со скоростью

Дата добавления: 2015-11-26