Есептер шешудегі анализ бен синтез.

Читайте также:

Математикалық есептер шешуде анализ бен синтез кең түрде қолданылады. Анализ – ізделіндіден берілгенге қарай көше отырып талқылау жолы. Синтез – берілгеннен бастап ізделіндіге көшу (өту) жолы. Бұл екі әдісте бір-бірімен тығыз байланыста болады.

Дәлелдеуге берілген есептерді шешудегі анализ бен синтез.

1-есеп. Шар үшбұрышты пирамиданың барлық бүйір жақтарын олардың биссектрисаларының қиылысу нүктесінде жанайды. Дұрыс пирамида екенін дәлелдеңдер.

Анализ. Пирамиданың дұрыс екенін дәлелдеу үшін оның табаны дұрыс үшбұрыш екенін көрсету қажет. (DАВС). Ал бүйір жақтары тең бүйірлі тең үшбұрыштар болуы керек. Бірінші сөйлемді дәлелдеу үшін АС=AB=BC көрсету керек, бұл өз кезінде DАВС=DАSВ=DВSС болуы қажетті. Бұл қатыстарды дәлелдеу үшін үшбұрыштың теңдік белгілерін пайдаланамыз. (пирамиданың бүйір қабырғалары). (Пирамиданың қабырғалары және оған іргелес жатқан екі бұрышы бойынша).

Шар бұл бүйір жақтарды жанау үшін DO₁SC=DO₂SC және DO₂BS=DO₃BS. (шеңбердің бір нүктесіне жүргізілген жанаманың кесінділері).

O₁S=O₂S=O₃S, O₁C=O₂C, O₂B=O₃B (бір нүктеден жүргізілген жанамалар).

2) Анализ орындалуы. Егер келесі әрбір сөйлемнің жеткіліктілігін тағайындай алсақ, онда дәлелдеу орынды деуге болады.

Синтез. O_1,O₂ нүктелері DАSВ және DSВС –на сәйкес биссектрисалардың қиылысу нүктелері.

(SDE) жазықтығы берілген шармен белгілі бір дөңгелек бойынша қиылысады. Дәл осы сияқты (СО₁О₂) жазықтығы берілген шарды басқа дөңгелек бойымен қиылысады.

1) O₁S=O₂S, O₁C=O₂C 2) DSO₁C=DSO₂C 3) ÐO₁SC=Ð O₂SC, ÐO₁CS=Ð O₂CS 4) ^ACS=2^O₁SC₁, ^ACS=2^O₁CS, ^BSC=2^O₂SC, ^BCS=2^O₂CS, сондықтан ÐASC=ÐBSC₂, және ÐACS=ÐBCS. 5) DАCS=DВCS. 6) 5-ге сүйеніп АС=BC, AS=BS.

Бір ортақ нүктеден шеңберге жүргізілген жанама кесінділері тең болады. Үш қабырғасы бойынша тең, SC-бұл D-ға ортақ қабырға. Тең қабырғаларға қарсы жатқан бұрыштар тең. 3-қатыс бойынша О₁S=O₂S, О₁C=O₂C- ÐASC, ÐBSC, ÐACS, ÐBCS-бұрыштарына сәйкес биссектрисалар. SC қабырғасы бойынша және мұның үшбұрышындағы бұрыштар бойынша Тең үшбұрыштың тең бұрыштарына қарсы тең қабырғалар жатады.

Дәл осыған ұқсас DBSC=DASB (немесе DФЫС=DASB) деген сөйлемнен BC=AB (не AC=BC) және AS=CS (не BS=CS) теңдіктері шығады.

АС=BC=AB және DABC дұрыс үшбұрышынан теңдіктің транзитивтік қасиеті бойынша DASC=DASB=DBSC, AS=BS=CS, яғни пирамиданың бүйір жақтары – (өзара тең) тең бірдей. Бүйірлі үшбұрыштар. Сонымен пирамида дұрыс.

4.2. Есептер шешудің басқа да жалпы әдістері.

Есептерді шешуде анализ бен синтез есептер шешудің барынша жалпы әдісі болып табылады. Сонымен қатар төменде қарастырылатын әдістерде жалпы әдістер болып саналады.

а) Жеткілікті түрде сынау әдісі.

Есеп шартын қанағаттандыратын барлық логикалық мүмкіндіктер және оларды таңдап алу. Егер есеп шартына сай логикалық мүмкіндіктер шектеулі сандар болса, онда есеп шартына толық сай келетін әдісті сұрыптап алу. Осы әдіспен кейбір сандар теориясының есептері шешіледі.

1-мысал. Цифрларының қосындысы 11, өзі 11-ге бөлінетін барлық төрт таңбалы сандарды табыңдар.

Шешуі. Ізделінетін сан fbcd=10³a+10²b+10c+d болсын. Есеп шартына сүйеніп жүйені жазуға болады.

Осы жүйенің екінші теңдеуі ізделетін санның параллельге бөлінетінін білдіреді.

Бір-біріне қоссақ 2(а-с)=11(k+1). Мұндағы kÎ(-1;0;1) болады. Шынында да жүйенің екінші теңдеуінде сол жағының айырмасы 11-ден кіші, 11ç - деп үлкен болмауы керек.

б) Екінші әдіс. – мәліметтер әдісі.

Есептер біртіндеп түрлендіріледі. Түрлендірулер тізбегінің соңында қажетті жауапты алуға мүмкіндік береді. Егер теңдеуді шешу керек болса, онда берілген теңдеуге эквивалентті теңдеулер тізбегін құрамыз, соңғы теңдеу шешуге жеңіл, сұраған жауапты береді. Теңдеулер жүйесін, теңсіздіктер жүйесін, шешкенде де дәл осылай істейді. Дәлелдеуге берілген есептерді шешкенде де теңбе-тең түрлендірулер тізбегін жасап түсінікті теңбе-теңдікке келеміз.

2-мысал. х²-2ху+у²-2х+3>0.

Шешуі. х²-2ху+у²-2х+3=х²-2х(у+1)+(у+1)²-(у+1)²+2у²+3=(x-y-1)²+y²-2y+1+1=(x-y-1)²+(y-1)²+1>0.

Мәліметтерді қабылдаудың негізіне геометриялық салу есептерін шешу жатады. Осы түрдегі әрбір есеп мынадый талаптардан тұрады: берілген фигура арқылы, оның конструктивті элементтері арқылы фигура салады, ол есеп шартын қанағаттандыруы керек. Салынуға тиісті есеп элементар салуларға келеді. Мәліметтер әдісімен мәтіндік есептер арифметикалық тәсілмен шешіледі. Бұл арада да берілген есеп жай есепке келтіріледі.

в) Есептер шешудің үшінші әдісі: модельдеуге негізделеді.

Модельдеуге әртүрлі математикалық объектілер пайдаланылады. Сан формулалар, сан таблицалары, әріпті формулалар, функциялар, алгебралық теңдеулер, дифференциалды теңдеулер мен олардың жүйелері, теңсіздіктер, теңсіздіктер жүйесі, қатарлар, геометриялық фигуралар, әр алуан граф, схемалар, Венн диаграммалары, т.б. Математикалық модельдеу көптеген мәтіндік есептер шешуде қолданылады. Есеп шарты бойынша құрылған теңдеу – алгебралық (аналитикалық) модель болып табылады.

Берілген геометриялық есептегі фигураның сызбасы – ондағы берілгендер мен ізделетін айнымалылар да – геометриялық модель болады. Көлемді геометриялық фигура – есепте берілген заттарды кескіндеу не оны қолдану моделі болады.

3-мысал. Егер сыныптағы оқушыға 2-ден конфет таратылса, онда 17 конфет артылады. Егер 3 конфеттен таратылса, онда 2 оқушыға конфет жетпейді. Сыныпта неше оқушы, неше конфет?

Бұл есепті 2 сызықтық теңдеу құру арқылы шешуге болады. Егер бұған модуль құрсақ, онда бұл есепті бастауыш сынып оқушылары шеше алады.

2 2 2... 2 22+17

€ € €... € €€

3 3 3... 3

Модельден байқалатындай: 2 конфет алған оқушы 3 конфет алуы үшін 17 конфетті және 4 конфетті тарату керек. Өйткені 2 оқушыға конфет жетпей қалған. Яғни қосымша 21 конфет тарату керек. Демек, сыныпта 23 оқушы. А, конфет 21 3=63.

Орта мекетеп математикасында графиктік модельдеу ерекше роль атқарады: диаграммалар, функциялық графигі, теңдеудің, теңсіздіктің, графиктің геометриялық мағынасы.

4-мысал. Екіншілер бригадасы бірі екіншісінен 2 еседен көбірек шабындықты шабу керек. Олар жарты күнде үлкен шабындықта болды. Түстен кейін бригаданың жартысы үлкен шабындықта қалды да кешке дейін оны ақырына дейін шауып бітірді. Бригаданың екінші жартысы түстен кейін кіші шабындықта болды. Олар толық шауып бітіре алмады. Шабылмай қалған жерді келесі күні 1 шалғышы шауып бітірді. Бригадада неше шалғышы бар? Барлық шалғышылардың бір күнде шабатын жер мөлшері бірдей.

Шешуі. Шалғышылар саны – х; 0,5x

Есеп шарты диаграммада көрсетілген.

0,5х+2=0,5 1,5x x 0,5x

x=8

г ) Ізделетін шаманың мәнін біртіндеп жуықтап есептеу әдісі.

Есептерді графиктік тәсілмен шешудің бәрі жуық түрде есептеледі. Жуықтап шешу сандар әдісі (мысалы, квадрат теңдеудің түбірлерінің шешімі формула бойынша табылады).

Геометрияда жуықтап салу методы бар.

Мысалы, дөңгелекке тең квадрат салу бұрышты тең бөліктерге бөлу, т.б. Практикалық мазмұнды есептер көбінесе комбициялық әдістермен шешіледі. Орта мектепте есептер шешудің негізгі мақсаттарының бірі - әр оқушының математикалық есептердің негізгі методтар мен есеп шешудің тәсілдерін меңгеруін қамтамасыз ету.

Теңдеулерді шешу

3-мысал: теңдеуін шешіңдер.