Геометриялық стандарт емес есептер шығару жолдары

Стандарты емес есеп дегеніміз белгілі алгоритім бойынша шығарылмайтын есептерді айтуымызға болады, әр бір есептің өз жеке алгоритімді талап ететін есептерді геометриялық есептерді айтуымызға болады. Стандарт емес қызықты есептерді шығаруға дағдыландыру, - деп біз біріншіден стандарт емес ойлауға үйрететін есептерді және «идеялар банкі» болып табылатын белгілі классикалық, тарихи, көне, өлең, басқа санау жүйелерінде берілген т.б. қызықты есептерді шығаруды, екіншіден стандарт есептерді стандарт емес түрде бергенде, оқушылардың алған білімдерін тиімді пайдаланып, ол есептерді өздері стандарт түрге келтіріп, белгілі формулаларды қолдана алуға үйретуді түсінеміз.

Геометриялық стандарт емес конкурстық-есепке мысал келтірейік. Қандай да бір шеңберге сырттай сызылған төртбұрышы диагоналі арқылы және үшбұрыштарынабөлінген. Үшбұрыштарға іштей сызылған шеңберлердің радиустары сәйкесінше 1 және . және үшбұрыштарының аудандары сәйкесінше 6 және .

Төртбұрыштың қабырғалары мен диагоналінің ұзындықтарын табыңыз.

Шешуі. Алдымен, келесі тұжырымды дәлелдейік.

Айталық, ұшбұрышына іштей сызылған шеңбер оның қабырғаларын сәйкесінше нүктелерінде жанайтын болсын(1-сурет).

теңдігін дәлелдейік. Ол үшін шеңберден тыс нүктеден жүргізілген жанамалардың бөліктерінің қасиетін пайдаланып

AE = AF = x; BF = BD = y, CD = CE = z

белгілеулерін енгізе аламыз. Сонда жарты перимерт: болады.Осыдан ,

яғни: .

Дәлелдеу керегі осы.

Осыған ұқсас ; болады.

Айталық ABC және CDA үшбұрышына іштей сызылған шеңберлер төртбұрыштың AC диагоналін сәйкесінше M және K нүктелерінде жанайтын болсын (2-сурет). Жоғарыда дәлелденген теңдіктерді пайдалансақ:

, аламыз.

1-сурет 2-сурет

Осыдaн

.

Шарт бойынша ABCD төртбұрышы сырттай сызылған, ендеше

AB + CD = BC + AD, AM – AK = 0, осыдан AM = AK екендігі және M мен N нүктелері беттесетіні шығады (3-сурет). Енді ABC және ACD үшбұрыштарының жарты периметрлерін және , іштей сызылған шеңберлердің радиустарын сәйкесінше және , ал төртбұрыштың қабырғаларын

AB = b, BC = c, CD = d, DA = a, AC = l

деп белгілейік.

Есептің шарты бойынша , яғни және

; _{; .}

Герон формуласын пайдаланып, былай жаза аламыз:

.

Осыдан .

Осылай , . Осы теңдеулердің біріншісін екіншісіне бөлсек:

()

шығады. Енді ABC үшбұрышынан

және ACD үшбұрышынан екенін ескерсек: немесе болады.

3-сурет 4-сурет

Дәл осылай, ; аламыз.

Енді d = c – 1 және b = a + 1 мәндерді ()-ға қойсақ:

немесе 6 – l = 10 – 2 l, осыдан l = 4 шығады. Сондай-ақ , осыдан , .

Табылған мәндерді теңдеуіне қойып b мен c- ның мәндерін табамыз: немесе ; ; ; Онда . Нақтылау үшін былай деп алайық: . Бұл жағдайда , . Осыдан Пифагор теоремасына кері теорема бойынша -қа тең деген қорытындыға (Мысыр үшбұрышы: ) келеміз.

Тең бүйірлі үшбұрыш ACD- ның биіктігі CE -ні (4-сурет) жүргізейік. Айталық, болсын. Онда, .

Косинустар теоремасы бойынша BAD үшбұрышынан:

немесе аламыз.

Келесі жағдайында, тік болады да, мынаны аламыз: .

Жауабы: 1) ;

2) [10-11].

Оқушылар түрлі деңгейдегі олимпиадаға қатысқанда және мектептік, қалалық олимпиадалар өткізгенде, тәжірибе көрсеткендей, геометрия есептері көп қиындықтар туғызады. Ал геометрия болса, стандартты емес ойлауды дамытып, математикамен айналысуға қабілетті адамдарды анықтайтыны белгілі. Мұндай олимпиадалық есептер кеңінен беріледі.

Бұл есептер кесуге де, құруға да, бұрыштарды табуға да арналады. Бірақ, көбінде өз шешімінде ерекше идеяны, көбінде қосымша құруды қолданатын есептер кездеседі.

Төменде сабақта қарастырып, олардың шешімдерін тақырыппен байланыстыруға болатын геометрия бойынша бірнеше олимпиадалық есепті талдап көрелік.

Мұндай есептің шешуін табу кейбір ойлау сапасы мен әдістерін қажет ететіндіктен, онда сабақта кейбір ойлау сапасын дамытуға (ең алдымен икемділікпен теренділік) сондай - ақ ойлау қызметінің әдістеріне (ең адымен талдауға ол әсіресе олимпиадалық есептерде, соның ішінде геометриялық есептерде қолданылады) көңіл бөлу керек.

Дата добавления: 2015-11-26