Определители. Вычисление определителей

Определителем второго порядка называется число

где элементы и образуют главную диагональ, а элементы и - побочную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях.

Определителем третьего порядка называется число

Правая часть выражения представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах. Для вычисления определителей третьего порядка используется правило треугольников (правило Саррюса):

В основе лежит главная диагональ. Вершины треугольников с одной из сторон, параллель-ной главной диагонали. Произведения взяты со знаком «+».	В основе лежит побочная диагональ. Вершины треугольников с одной из сторон, параллель-ной побочной диагонали. Произведения взяты со знаком «–».

Минором элемента определителя -го порядка называется определитель -порядка, получаемый в результате вычеркивания в определителе -го порядка строки и столбца, содержащих элемент .

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком «+» или «–» в зависимости от того является ли сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, четным или нечетным числом.

Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

где

где

Данные выражения называются соответственно разложениями определителя по элементам -строки и -столбца.

Пример 2.1. Вычислить определитель .

Решение. Используя правило треугольников, получаем

Пример 2.2. Вычислить определитель , разлагая его по элементам третьего столбца.

Решение.

Если в определителе -го порядка имеется столбец (строка), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, разложив определитель по элементам данного столбца (строки), можно свести вычисление определителя -го порядка к вычислению определителя порядка . Если же в определителе -го порядка нет такого столбца (строки), то используя свойства определителей, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его таким образом, чтобы все элементы некоторого столбца (строки) обратились в нуль, кроме одного.

Пример 2.3. Вычислить определитель

Решение. К третьей строке прибавим первую:

к первой строке прибавим третью, умноженную на 2, ко второй – третью, умноженную на -2, к четвертой – третью, умноженную на -2, а затем разложим полученный определитель по элементам первого столбца, получим:

ко второй строке прибавим первую, умноженную на 5, к третьей – первую, умноженную на -2, получим:

Задания для самостоятельного решения:

Вычислить следующие определители:

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20. 2.21. 2.22. 2.23. 2.24. 2.25. 2.26. 2.27. 2.28. 2.29. 2.30. 2.31. 2.32. 2.33. 2.34. 2.35. 2.36. 2.37. 2.38. 2.39. 2.40. 2.41. 2.42. 2.43. 2.44. 2.45. 2.46. 2.47. 2.48. 2.49. 2.50. 2.51. 2.52. 2.53. 2.54. 2.55. 2.56.

Дата добавления: 2015-11-26