Свойства треугольников на плоскости Лобачевского

Как показал Лежандр, утверждение, что сумма углов треугольника равно , эквивалентно постулату. Потому на плоскости Лобачевского сумма углов треугольника не должна равняться . Она не может быть и больше , что противоречит абсолютной геометрии. Поэтому на плоскости Лобачевского сумма углов треугольника меньше

Возникает вопрос: какому конкретно числу равна сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского? Выявляется, что такого конкретного числа для треугольников в геометрии Лобачевского просто не существует. Здесь справедлива такая теорема.

Теорема 3. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского есть величина постоянная и зависит от формы и размеров треугольника.

Доказательство. Будем рассуждать методом от противного. Допустим, что сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского есть величина постоянная . Рассмотрим с углами (рис. 30).

Тогда .

Возьмем на стороне произвольную точку и соединим ее с точкой С. разобьется на два треугольника: с углами и с углами .

Тогда по допущению .

Сложим эти равенства, получим

Отсюда, . Это противоречит предположению.

Итак, сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского не может быть постоянной величиной.

Разница между числом и суммой углов треугольника называется угловым дефектом треугольника, ее обозначают .

Итак, , где - сумма углов треугольника.

В геометрии Евклида угловой дефект треугольника равен нулю, а в геометрии Лобачевского угловой дефект – переменная величина, изменяется от нуля до .

Можно доказать, что в геометрии Лобачевского площадь треугольника пропорциональна угловому дефекту.

Выявляется, что на плоскости Лобачевского не существует подобных треугольников.

Теорема 4. На плоскости Лобачевского не существует подобных треугольников.

Доказательство. Будем рассуждать от противного. Допустим, что существует два подобных треугольника с коэффициентом подобия, отличного от единицы. Пусть, например, больше (рис. 31).

Из подобия этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. Отложим на стороне отрезок и через точку проведем прямую так, что она образует со стороной угол . По теореме Паша прямая , пересекая сторону , пересекает еще одну сторону этого треугольника. Пересечь сторону она не может, так как она разбегается с ней. Итак, прямая пересекает сторону в точке .

по стороне с двумя прилегающими углами, отсюда вытекает, что . Тогда в четырехугольнике сумма внутренних углов , что в плоскости Лобачевского не возможно. Получили противоречие.

Из этой теоремы, как следствие вытекает утверждение:

Если на плоскости Лобачевского три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Эта теорема дает новый, четвертый признак равенства треугольников, которого нет в абсолютной геометрии.

Теорема 5. На плоскости Лобачевского не около всякого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. В геометрии Евклида около любого треугольника можно описать окружность, центр которой есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Существование такой точки пересечения доказывается на основе постулата Евклида. Итак, это утверждение эквивалентно постулату.

Правда, пусть имеем треугольник , в котором - середины сторон соответственно (рис. 32).

Проведем через точки перпендикуляры . Тогда угол - острый (из ), а угол - прямой, потому сумма и по постулату прямые пересекаются в точке О, которая есть центр описанной окружности.

На плоскости Лобачевского существование точки О пересечения серединных перпендикуляров зависит сторон зависит от величины угла , который есть функция отрезка , а сама функция Лобачевского: прямые параллельны, а при расходятся (рис. 32). Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-11-26