Предмет основания геометрии

Директор института экономики

И управления

Е.А. Желудковский

30 августа 2010 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по организации самостоятельной работа студентов

по нормативной дисциплине «ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ»

для бакалавров направления подготовки:

6.010103, «Педагогика и методика среднего образования. Математика»

Подготовлена: Бубновой А.А., старшим преподавателем

кафедры математики, теории и методики

преподавания математике

Рекомендована: кафедрой математики, теории и методики

преподавания математике,

протокол №1, от 30 августа 2010 г.

Ялта 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1.Предмет основания геометрии

2.Современное аксиоматичное построение евклидовой геометрии

2.1.Система аксиом евклидовой геометрии по Гильберту

2.2.Система аксиом Вейля

2.3.Система аксиом Погорелова

3.Исследования системы аксиом геометрии

3.1.Непротиворечивость систем аксиом евклидовой геометрии

3.2.Полнота системы аксиом евклидовой геометрии

3.3.Независимость

3.4.Непротиворечивость системы аксиом Г. Вейля евклидовой геометрии для пространства

4.Разные геометрии

4.1.Геометрия Лобачевского; ее модели

4.2.Факты геометрии Лобачевского

4.3.Многомерная евклидова геометрия

4.4.Групповой принцип оснований геометрии

4.5.Геометрия теории относительности

4.6.Риманова геометрия

5.Вопросы к зачету

6.Темы рефератов

Список используемых источников

Введение

Курс «Основания геометрии» – один из курсов математики, который посвящен так называемым вопросам аксиоматики. Здесь дается аксиоматика евклидовой геометрии. Кроме того, в нем даются и сравнительные аксиоматики евклидовой геометрии. Затем рассматриваются понятия непротиворечивости, независимости и полноты. При их изучении понятия и утверждения курса «Основания геометрии» используются как инструмент исследования, средство обучения и язык, на котором можно компактно и четко описать довольно сложные зависимости, наблюдаемые в реальной действительности. Наконец дается обзор различных геометрий, начиная с геометрии Лобачевского и кончая псевдоримановой геометрией – математической основой общей теории относительности. Тут же излагается групповой принцип определения той или иной геометрии и, наконец, в дополнение, дается некоторое понятие о римановой геометрии.

Ряд основных понятий и утверждений курса понадобится выпускникам в будущем для решения теоретических и прикладных задач. Значительная часть материала необходима в качестве внутренних логических связок курса. Кроме этого, курс «Основания геометрии» представляет собой одно из эффективных средств повышения культуры мышления студентов.

Данное пособие предназначено для студентов-математиков педагогических специальностей университетов; задача, которую она, по замыслу, должно решать, состоит в том, чтобы в наибольшей степени приблизить курс геометрии к проблемам школьного преподавания.

В пособии рассматривается аксиоматика евклидовой геометрии. Дается аксиоматическое определение фигуры. Дается модель геометрии Лобачевского. Проведено детальное исследование непротиворечивости, независимости и полноты аксиом Г. Вейля в арифметической реализации, приведено доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского в интерпретации Бельтрами – Клейна и Пуанкаре. В заключении даются темы для рефератов и вопросы к зачету.

Предмет основания геометрии

В геометрии весь материал излагается в виде строгой последовательности четко сформулированных утверждений – определений и теорем.

Теоремой называется утверждение, истинность которого устанавливается с помощью доказательства, то есть рассуждений, основанных на законах логики.

Определения – это утверждения, в которых объясняется смысл того или иного понятия.

В курсе геометрии все теоремы располагаются в определенной последовательности. При доказательстве n-й теоремы как аргумент используются (n-1) ранее доказанные утверждения. При доказательстве (n-1)-й теоремы используются (n-2) предыдущие утверждения и т. д. Этот процесс не бесконечен. Через конечное число шагов придем к утверждениям, для обоснования которых не будет предыдущих утверждений.

Поэтому для того, чтобы можно было проводить доказательство теорем, некоторые утверждения берутся без доказательств. Такие утверждения называются аксиомами. Тогда, исходя из аксиом, с помощью логических операций переходят от одной теоремы к другой.

Аналогично выполняется для понятий и их определений. Обычное определение состоит в том, что определяемое понятие разъясняется через другие, можно сказать, к ним сводится. Но нельзя сводить одни понятия к другим до бесконечности. Поэтому должны быть исходные понятия, которые принимаются без предварительных определений и называют основными понятиями. Все, что от них требуется, высказывается в аксиомах.

Таким образом, аксиоматическое построение геометрии осуществляется по схеме:

1.Вводятся основные понятия.

2.Задается система аксиом, которая определяет основные понятия.

3.С помощью основных понятий определяются новые понятия, а на основе аксиом доказываются новые утверждения как теоремы.

Перечень основных понятий и аксиом, достаточных для строгого логичного определения всех остальных понятий и доказательства всех утверждений, называется обоснованиями геометрии.

При этом возникают вопросы:

1.Какие понятия взять за основные?

2.Какие утверждения взять за аксиомы?

3.Как надо осуществить выбор основных понятий и аксиом, чтобы с помощью логических операций охватить всю геометрическую теорию?

На все эти вопросы дает ответы наука, которая называется основания геометрии.

Дата добавления: 2015-11-26