Удосконалений метод Ейлера-Коші

В цьому методі на кожному кроці інтегрування праву частину рівняння (1) обчислюють двічі: спочатку за методом Ейлера обчислюється наближене значення шуканого розв’язку у точці

(5)

яке потім уточнюється за формулою

. (6)

Оцінка похибки наближеного розв’язку задачі Коші

Для оцінки похибки наближений розв’язок задачі Коші (1) у кожній вузловій точці обчислюють двічі: з кроком h і h/2. Позначають їх відповідно y_k та y_k. Десяткові розряди наближень y_k та y_k, які збігаються між собою, вважають точними цифрами наближеного розв’язку в точці x_k.

Оцінка похибки методу визначається за формулою

, (7)

де y (x_k) – точний розв’язок задачі у вузловій точці x_k.

Щоб вивести таку оцінку похибки, припустимо, що виконуються такі умови:

1. на кожному кроці інтегрування h похибка методу приблизно пропорційна , де s – порядок точності методу;

2. похибка методу на кожному кроці інтегрування однакова;

3. на кожному наступному кроці інтегрування сумарна похибка методу включає також усі похибки, зроблені на попередніх кроках. Тому, якщо , де M – невідомий коефіцієнт пропорційності, то

Отже, для похибки в точці x_k при інтегруванні з кроком h маємо рівність

, (8)

а при інтегруванні з кроком h/2 – рівність:

. (9)

Віднявши почленно (9) від рівності (8) і розв’язавши здобуту рівність відносно невідомого коефіцієнта M, знайдемо

.

Підставивши ці значення (9), маємо

.

Звідси для абсолютної похибки в точці остаточно дістанемо таку рівність:

. (10)

Хід роботи

1. Методом Ейлера, уточненим методом Ейлера та уточненим методом Ейлера-Коші на відрізку [ x₀,b ] знайти розв’язок задачі Коші: , y(x₀)=y₀ з кроками h=(b-x₀)/N і h/2 та визначити правильні цифри наближених розв’язків.

2. Порівняти розв’язки між собою.

3. Оцінити абсолютні похибки ров’язку кожного методу в будь-якій точці x_k є [ x₀,b ].

Таблиця 1

Варіант	f(x,y)	x0		Y0	N
				0.5
				1.2
				1.4
				1.6
		0.5
				0.5
				0.4
			1.5	0.5
				0.1
				0.2
				0.3

Контрольні запитання

1. Постановка задачі Коші.

2. Метод Ейлера (метод Ейлера, удосконалений метод Ейлера, удосконалений метод Ейлера-Коші). Геометрична інтерпретація методу.

3. Метод складання початку таблиці.

4. Метод Бубнова-Гальоркіна

5. Формула Адамса.

6. Які функції MatLab використовуються для реалізації чисельного інтегрування звичайного диференціального рівняння першого порядку?

Дата добавления: 2015-12-08