Спектр Н/пС сплошной и бесконечный по всей шкале -¥ £ w £ ¥.

НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ и их СПЕКТРЫ

Наиболее общий вид реальных сигналов конечной длительности t = t _к – t _н .. Чаще всего непериодические сигналы ( Н/пС ) имеют вид одиночных импульсов

Если функция огибающей x (t) удовлетворяет условиям Дирихле и обладает свойством абсолюьтной интегрируемости, Н/пС можно считать предельным случаем периодического сигнала при Т ®¥, и для нахождения мат. модели применить к нему разложение Фурье.

Подставим в комплексную форму мат.модели x(t) выражение для комплексной амплитуды и осуществим предельный переход

В процессе нахождения предела при устремлении Т ®¥ возможны замены:

· основная частота сигнала w ₁ = 2 p /T ® 0, т.е. можно заменить w ₁ ® Dw (на бесконечно малую величину);

· из 2 p /T = w ₁ следует, что 1 /T = w ₁/2 p ® Dw /2 p

· устремится к нулю и разность частот любых соседних гармоник:

w _k+1 -w _k = 2 p(k+1) /T - 2 p k/T = 2 p /T ® 0;

· это означает, что w _k может принимать любое значение и, следовательно, может быть заменена на текущее значение w (т.е. w _k ® w ), а сумма - на интеграл.

В результате предельного перехода получим математическую модель непериодического сигнала в виде двойного интеграла Фурье:

,

Используется обычно в виде пары преобразований Фурье

Прямое преобразование Фурье совпадает по существу с комплексной амплитудой ПНС (отличается только масштабным коэффициентом 2/Т)

(_**)

и, следовательно, является спектральной характеристикой Н/пС:

,

где ; ; (интегралы сходятся)

;.

Обратное преобразование Фурье является комплексной формой математической модели непериодического сигнала.

Может быть преобразована с учётом спектральной характеристики.

Второй интеграл от нечётной функции обращается в нуль, а первый (от чётной функции) удваивается для половинного интервала.

тригонометрическая форма мат. моделиН/пС.

СПЕКТР НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА

Из сравнения мат. моделей ПНС и Н/пС следует, что непериодический сигнал состоит из несчетного множества бесконечно малых и бесконечно близких по частоте составляющих.

Спектр Н/пС сплошной и бесконечный по всей шкале -¥ £ w £ ¥.

-спектральная плотность комплексных амплитуд. Модуль S( w ) – амплитудно-частотная характеристика – даёт уравнение огибающей спектра амплитуд.

Дата добавления: 2015-12-08