Величина характеризует распределение энергии по спектру и называется энергетической спектральной плотностью.

Пример непериодического сигнала – одиночный прямоугольный импульс длительностью t.

Его комплексный спектр согласно изменению во времени:

.

С учётом

получим

Спектр сигнала – сплошной. Огибающая спектра амплитуд определяется функцией вида (Sin a ) / a, называемая функцией отсчётов и обозначаемая Sa ( a ). Такая функция изменяется по закону затухающего синуса за исключением первого полупериода, в котором начинает изменяться от единичного значения при a =0. Частота, соответствующая периоду изменения определяется из соотношения wt /2 = 2 p, т.е. w = 4 p / t.

Поскольку амплитуды гармоник в спектре амплитуд всегда положительны. Поэтому после частоты 2p/tогибающая должна поменять знак, что соответствует приращению наpначальной фазы гармоники. Аналогично изменяется начальная фаза при каждом последующем спаде огибающей до нуля.

К непериодическим сигналам относятся единичный скачок и единичный импульс

Рассмотрим сигнал включения x (t), быстро нарастающий от нуля в момент t = 0 до некоторого постоянного значения, и его производную x’ (t), существующую в пределах длительности переднего фронта t _ф.

При t _ф® 0 в пределе сигнал включения x (t) с амплитудой 1 превращается в прямоугольный скачок, описываемый единичной функцией (функцией Хевисайда)

x(t) = 1(t) = 0, t < 0;

1, t ³ 0,

Называется единичным ступенчатым сигналом или единичным скачком.

Разновидностями его являются смещенные единичные скачки

x(t) = 1(t t) = 0, t < ± t;

T ³ ±t.

В т.ч. с отрицательной амплитудой.

Единичные скачки с отрицательным аргументом.

x(t) = 1(- t) = 0, t > 0;

1, t £ 0,

x(t) = 1(- t t) = 0, t > ± t;

T £ ±t.

Умножение единичной функции на постоянный коэффициент А·1(t) даёт неединичный скачок с амплитудой А.

Операция усечения – умножение произвольной функции x(t) на единичную функцию:

x_1у(t) = x₁(t)1(t) = 0, t < 0;

x₁(t), t ³ 0;

и x_2у(t) = x₂(t)1(t-t) = 0, t < t;

X2(t), t ³ t.

Комплексный спектр сигнала 1(t) - S(j w ) = 1/j w = (1/ w) e^{- j p /2}. Спектр амплитуд - S( w )=1/ w сплошной (гипербола).

Единичные и неединичные скачки с нулевой длительностью переднего фронта на практике не могут быть реализованы. Но они используются как элементарные сигналы для построения или описания более сложных, например, одиночного прямоугольного импульса.

Так мат. модель импульса длитель-ностью t, изменя-ющегося по указанному закону, можно представить через единичные скачки:

.

Другой вариант построения прямоугольного импульса – усечение постоянного сигнала x₀ (t)= A = const:

Производная единичной функции - бесконечно большой по амплитуде импульс в момент t=0 с нулевой длительностью - описывается дельта-функцией или функцией Дирака и является математической моделью дельта-сигнала

0, t<0;

x(t) = d (t) = 1¢(t) = ¥, t=0;

T>0.

Может быть построен для любого исходного единичного скачка [см. графики 1 (t)]

Площадь дельта-сигнала d (t)dt = 1¢(t)dt = 1(t) = 1( ∞ ) - 1( -∞ ) = 1.

Дата добавления: 2015-12-08