Задание 1. Определение момента инерции маятника Максвелла относительно его оси

Введение

Различают пять видов движения тела:

1) поступательное; 2) вращение вокруг неподвижной оси; 3) плоское движение; 4) сферическое движение (вокруг неподвижной точки); 5) свободное движение.

Первые два вида движений (поступательное и вращение вокруг не подвижной оси) являются основными движениями твердого тела. Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному из главных или к их совокупности.

Поступательное движение – это движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению (например, вагон, движущийся по прямому участку пути, кабина колеса обозрения и др.).

Вращательное движение вокруг неподвижной оси АВ – это такое движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связаны с телом, остаются неподвижными. Прямая называется осью вращения тела.

Плоское движение – это такое движение, при котором каждая точка твердого тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной (в данной системе отсчета) плоскости.

Плоское движение совершает маятник Максвелла, который представляет собой диск, насаженный на тонкий стержень и подвешенный на двух нитях закрепленных на оси диска. Нить накручивается на ось диска. При раскручивании нити диск спускается, вращаясь вокруг своей оси. Плоское движение диска можно рассматривать как сумму поступательного движения оси вращения АВ и вращательного движения диска вокруг неподвижной оси АВ. Поэтому мы для описания движения маятника Максвелла воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного движения.

, (7.1)

где - результирующая всех сил, действующих на тело массой m, - его ускорение; и вращательного движения:

, (7.2)

где - результирующий момент всех сил, действующих на тело с моментом инерции J, - его угловое ускорение.

Рис.7.1

На ось действуют две силы – сила натяжения нити и сила тяжести , где – суммарная масса диска и оси. Следовательно, . Сила натяжения нити создает вращательный момент , где r - радиус осевого стержня. Тогда уравнения в проекциях на ось ОХ и на ось вращения АВ соответственно имеют вид:

(7.3)

Для решения этой системы уравнений воспользуемся связью между тангенциальной составляющей ускорения и угловым ускорением . Тогда для момента инерции маятника Максвелла мы получаем выражение

. (7.4)

Из этого выражения видно, что маятник Максвелла будет двигаться равноускоренно; если учесть, что маятник опускается с высоты без начальной скорости, то

, (7.5)

тогда из (7.4) следует:

. (7.6).

Следовательно, по этой формуле мы сможем определить момент инерции маятника Максвелла.

Момент инерции однородного диска и цилиндра относительно оси, проходящей через ось симметрии цилиндра можно определить также по формуле:

, (7.7)

где m₁ - масса цилиндрического тела, R₁ - его радиус.

Используя формулу (7.7) можно легко получить формулу для моментов инерции полых цилиндрических тел

, (7.8)

где R₂ - внешний, R₁ - внутренний радиус полого цилиндра.

Момент инерции нескольких тел равен сумме моментов инерции каждого тела в отдельности. Следовательно, момент инерции маятника Максвелла J_P равен сумме моментов инерции диска J_D, кольца J_K и оси J_O: J_P = J_O + J_D +J_K.

Тогда для момента инерции маятника Максвелла можно получить расчетную формулу:

, (7.9)

где m_O - масса оси, m_D - масса диска, m_K - масса кольца, R_D - радиус диска, R_K - внешний радиус кольца, R_O - радиус оси.

В сопоставлении значений момента инерции маятника Максвелла, полученных экспериментально и расчетным путем, заключается предлагаемая к выполнению работа.

Дата добавления: 2015-12-08