Дифференциальные уравнения теплопроводности и диффузии

Мы дали элементарное изложение основных результатов теории процессов передачи тепла и вещества в неподвижных и движущихся средах. Эти элементарные сведения достаточны для решения многих задач макроскопической кинетики. Однако в ряде случаев нам придется пользоваться дифференциальными уравнениями, описывающими процессы передачи тепла и вещества. Мы считаем поэтому уместным дать здесь сводку этих уравнений.

Уравнение диффузии в неподвижной среде имеет вид

(I, 50)

где С — концентрация; D — коэффициент диффузии; q' — плотность источников вещества, т. е. количество вещества, образующееся вследствие химических реакций в единице объема за единицу времени. Символы div и grad обозначают дифференциальные операции векторного анализа, которые носят названия дивергенции и градиента.

Если коэффициент диффузии D постоянен и q' = 0, то уравнение (I, 50) принимает вид

(I, 50а)

где Δ = div grad — оператор Лапласа, который в прямоугольной системе координат равен сумме вторых производных по всем трем координатам.

Уравнение теплопроводности в неподвижной среде имеет вид

(I,51)

где Т — температура; с — теплоемкость; ρ — плотность; λ — коэффициент теплопроводности; q' — плотность источников тепла, т. е. количество тепла, выделяющееся вследствие химических реакций в единице объема за единицу времени.

Если коэффициент теплопроводности λ можно считать постоянным, то уравнение (I, 51) принимает вид

(1,51а)

Для стационарных процессов члены и будут равны нулю.

При наличии конвекции уравнения (I, 50) и (I, 51) нужно пополнить конвективными членами v grad С и v grad Т (где v — скорость потока) и решать совместно с уравнениями гидродинамики.

Анализ дифференциальных уравнений методом теории подобия

Теория подобия позволяет, не выполняя интегрирования дифференциальных уравнений, найти общий вид решения с точностью до неизвестной функции, т. е. установить, какие безразмерные параметры должны входить в искомое решение. Для этого нужно преобразовать уравнение к безразмерным переменным, введя в качестве масштабов для измерения всех переменных величин какие-либо величины, фигурирующие в условиях задачи. После этого все постоянные коэффициенты сделаются величинами одинаковой размерности. Разделив обе части уравнения на один из этих коэффициентов, мы получим безразмерное уравнение, в котором роль постоянных коэффициентов будут играть безразмерные параметры. Решение уравнения может содержать, кроме безразмерных переменных, только эти безразмерные параметры, и все закономерности, характеризующие данное физическое явление, могут быть представлены в виде зависимостей между указанными безразмерными параметрами.

Применим изложенный метод к приведенным выше дифференциальным уравнениям. Введем естественный масштаб длины d, за который мы примем определяющий или характеристический размер системы, и заменим обычные координаты х безразмерными координатами

Для температуры и концентрации введем в качестве естественных масштабов характеристическую разность температур ΔT и характеристическую разность концентраций ΔС, после чего безразмерная температура определится как

а безразмерная концентрация — как

где Tо и С₀.— какие-либо величины, принятые за нуль температуры и концентрации и фигурирующие в условиях задачи.

Наконец, в качестве естественного масштаба времени введем характеристическое время τ и определим безразмерное время как

После преобразования к безразмерным переменным уравнения теплопроводности и диффузии в неподвижной среде (I, 50а) и (I, 51а) примут вид

;

Каждое из этих уравнений содержит один безразмерный параметр и . Эти параметры иногда называют тепловым и диффузионным критериями гомохронности.

Если мы так сформулируем условия задачи, чтобы в них содержалась величина размерности времени, которую мы и примем за характеристическое время, то, поскольку уравнение содержит только один параметр, решение его должно давать зависимость безразмерной температуры или концентрации от безразмерных координат и безразмерного времени, содержащую один только этот безразмерный параметр:

(I, 52)

(I, 53)

Закономерности, характеризующие протекание явления в целом, должны выражаться зависимостями между безразмерными параметрами. В данном случае, поскольку мы имеем только один безразмерный параметр, такая зависимость сведется к постоянному значению этого параметра = Const для теплопередачи или = Const для диффузии.

Отсюда непосредственно следует весьма полезный практически вывод, что характеристическое время теплопередачи или диффузии в неподвижной среде пропорционально квадрату линейного размера тела.

Если в условиях задачи отсутствуют величины размерности времени, то за естественный масштаб времени нужно принять единственную величину размерности времени, которую можно составить из других величин, фигурирующих в условиях задачи:

-для теплопередачи и для диффузии.

Безразмерное время выразится как или , и решения уравнений примут вид:

(I,54)

(I,55)

Эти выражения могут быть получены из (I, 52) и (I, 53), если заменить масштаб времени τ переменным временем t.

Совершенно аналогичным образом мы можем преобразовать к безразмерным переменным законы Фурье и Фика. Введя безразмерную температуру ,безразмерную концентрацию и безразмерную координату ,приведем (I, 10) к виду

а (I,11) — к виду

Левая часть этих выражений представляет собой хорошо нам известный критерий Нуссельта.

Если пополнить законы Фурье и Фика конвективными членами, то преобразование их к безразмерным переменным приведет к по­явлению критерия Пекле, а уравнения гидродинамики таким же образом дают критерий Рейнольдса. Комбинируя эти критерии между собой, можно получить и все остальные критерии подобия, которыми мы пользовались выше.

Дата добавления: 2015-12-08