Дифференциального уравнения n-ого порядка

Билет №1

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений

В общем случае данные уравнения имеют вид ,

где - непрерывные функции.

Обозначим левую часть дифференциального уравнения, линейную относительно y и ее производных через , т. е.

. Тогда уравнение можно записать в виде . Этому неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение .

Свойство 1. Если и являются решениями однородного уравнения , то их сумма также является решением этого уравнения. Действительно, в силу линейности функции .

Свойство 2. Если является решением уравнения , то , где , также является решением этого уравнения.

Свойство 3. Если являются решениями уравнения , то , где - постоянные также является решением этого уравнения.

В силу линейности уравнения имеем .

Свойство 4. Если являются решениями однородного уравнения , а решением неоднородного уравнения , то также является решением неоднородного уравнения.

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского

Функции называются линейно независимыми в области G, если линейная комбинация этих функций равна нулю при любом значении только при нулевом наборе чисел . В противном случае эти функции называются линейно зависимыми. Для определения линейной зависимости функций используется определитель Вронского, который имеет вид

.

Теорема 7.3. Решения линейного однородного дифференциального уравнения являются линейно зависимыми в некоторой области G, если для любого значения x из этой области () определитель Вронского тождественно равен нулю , и, наоборот, решения уравнения линейно независимые, если .

Структура общего решения линейного неоднородного

дифференциального уравнения n-ого порядка

Теорема 7.4. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения этого неоднородного уравнения, т. е. ,где - линейно независимые решения однородного уравнения , - частное решение неоднородного уравнения .

2. Интегральный признак Коши

Теорема 8.6. Если члены знакоположительного ряда , являющиеся значениями функции целочисленного аргумента , монотонно убывают и стремятся к нулю , то: 1) если сходится, то и ряд сходится; 2) если расходится, то и ряд расходится.

Д о к о з а т е л ь с т в о. В прямоугольной декартовой системе координат непрерывная кривая проходит через точки и ограничивает сверху криволинейную трапецию ABCD. Площадь этой криволинейной трапеции равняется .Построим две ступенчатые фигуры с угловыми точками . Эти ступенчатые фигуры состоят из прямоугольников, основания которых равняются единице, а высоты значениям .

Найдем площади этих фигур.

, ,

где  n -я частичная сумма ряда.

Площади этих ступенчатых фигур ограничивают площадь криволинейной трапеции ABCD снизу и сверху

 .Рассмотрим левую часть этого неравенства  .

При неограниченном возрастании числа n членов ряда частичные суммы ряда монотонно возрастают, так как ряд знакоположительный. При этом интеграл также возрастает и ограничен величиной интеграла . Поэтому , т. е. последовательность частичных сумм ограничена. По теореме Вейерштрасса существует предел . Следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим правую часть неравенства  .По условию теоремы .

Если неограниченно возрастает, то и предел частичных сумм неограниченно возрастает и, следовательно, ряд расходится.

Дата добавления: 2015-12-07