Практическое занятие на тему

Множества, операции над ними. Бинарные отношения.

Задача 1. Даны множества:

А = {–1; 0; 1},

В = [–2; 0) – полуинтервал на числовой оси,

С = [–0.5; 2] - отрезок на числовой оси.

Найти:

Изобразить на плоскости: А ´ В, А ´ С, В ´ С. Найти , считая универсальным множеством множество всех вещественных чисел.

Решение:

= {[–2; 0]; 1}

= {–1; [–0.5; 2]}

= [–2; 2]

= [–2; 2]

= {–1}

= {0; 1}

= [–0.5; 0)

= Æ – пустое множество

А \ В = {0; 1}

В \ А = {[–2; –1); (–1; 0)}

А \ С = {–1}

С \ А = {[–0.5; 0); (0; 1); (1; 2]}

B \ C = [–2; –0.5)

C \ B = [0; 2]

(A \ B) \ C = Æ

A \ (B \ C) = {0; 1}

Задача 2. Доказать тождество, используя диаграммы Эйлера-Венна.

Решение: Изобразим диаграмму для левой части тождества по шагам:

Теперь диаграмму правой части по шагам:

Ввиду того, что заштрихованные области, полученные на последнем шаге для левой и правой части тождества, одинаковы, можно заключить, что исходное выражение верно.

Задача 3. Даны множества А ={ a, b, c } и B ={1,2,3,4} и два бинарных отношения: P ₁={(a,1); (a,3); (b,2); (c,1); (c,4)} и P₂={(1,1); (1,3); (2,2); (2,1); (2,4); (3,3); (4,1); (4,4)}

Изобразить Р ₁, Р ₂ графически. Найти: Р ₁^-1, Р ₂^-1, . Определить, является ли отношение Р ₂ рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.

Решение: рассмотрим два способа графического представления бинарных отношений:

По определению обратное отношение . Таким образом, Р ₁^-1={(1, a); (3, a); (2, b); (1, c); (4, c)} и P ₂^-1={(1,1); (3,1); (2,2); (1,2); (4,2); (3,3); (4,4); (1,4)}.

По определению композиции бинарных отношений

Таким образом, ={(a,1); (a,3); (b,2); (b,1); (b,4); (c,1); (c,3); (c,4)}.

Тогда ^-1={(1, a); (3, a); (2, b); (1, b); (4, b); (1, c); (3, c); (4, c)}.

={(1, a); (1, c); (3, a); (3, c); (2, b); (1, b); (4, b); (4, c)}

Последние два множества совпадают, что и должно быть по свойствам композиции.

Отношение Р ₂ рефлексивно, т. к. в соответствии с определением рефлексивности .

a) Отношение Р ₂ не является транзитивным, поскольку по определению транзитивности требуется, чтобы для любых пар (x, y) и (y, z), таких что (x, y) следовало бы, чтобы пара . Однако это не так. Например, пары (2,1) и (1,3) Î Р ₂, но пара (2,3) Ï Р ₂.

b) Отношение Р ₂ не является симметричным, т. к. по определению симметричности для любой пары (x, y) Î Р ₂ должно быть и (y, x) Î Р ₂. Однако это не так. Например, пара (1,3)Î Р ₂, но пара (3,1) Ï Р _2.

c) Отношение Р ₂ антисимметрично, поскольку для любой пары (x, y) Î Р ₂ такой, что (y, x) Î Р ₂ обязательно следует, что x = y.

Дата добавления: 2015-11-26