Формула полной вероятности

Задачи

1.Предприятие дает в среднем 25% продукции высшего сорта и 65% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта?

2.Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,014, 0,011, 0,009, 0,006. Найти вероят­ность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих со­бытий.

3. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятность попадания в круг и кольца соответственно равны 0,35, 0,20, 0,15. Какова вероят­ность попадания в мишень?

4.Определить вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 9, либо тому и другому одно­временно.

5.Найти вероятность того, что при подбрасывании игрального ку­бика на верхней грани окажется четное или кратное трем число очков.

6.На десяти карточках напечатаны цифры от 0 до 9. Определить ве­роятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 357.

7.Производится 4 выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в мишени при различных вы­стрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?

8.Вероятности появления каждого из трех независимых событий , , соответственно равны = 0,9, =0,8, = 0,7. Найти ве­роятность появления только одного из этих событий.

9.Все грани игрального кубика заклеены непрозрачной бумагой: грани 1, 2, 3 - голубой, грани 4, 5, 6 - красной. При подбрасывании ку­бика выпала красная грань. Определить вероятность того, что на этой грани стоит четное число.

10.Слово лотос, составленное из букв-кубиков, рассыпано на от­дельные буквы, которые затем перемешаны и сложены в коробке. Из коробки наугад извлекаются одна за другой три буквы. Найти вероят­ность того, что при этом появится слово сто.

11.В ящике находится 10 деталей, из которых 4 первого типа и 6 - второго. Для сборки агрегата нужно сначала взять деталь первого типа, а затем - второго. Какова вероятность того, что при выборке наугад де­тали будут взяты в нужной последовательности.

12.Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0,875. Найти вероятность появления события в одном испытании.

13.Студент знает ответы на 20 вопросов из 26. Предположим, что вопросы задаются последовательно один за другим. Найти вероятность того, что три подряд заданных вопроса - счастливые.

14.В ящике находится 10 деталей, из которых 5 первого типа, 3 - второго, 2 - третьего. Какова вероятность того, что при выборе наугад первой будет взята деталь первого типа, второй - второго, третьей - третьего типа?

15.Найти вероятность того, что выбранное наудачу изделие являет­ся первосортным, если известно, что 4% всей продукции является бра­ком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

16.Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Ус­ловием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5 % неисправных деталей.

17.Подброшены монета и игральный кубик. Найти вероятность то­го, что на монете выпала цифра, а на кубике - число очков, кратное трем.

18.Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в де­сятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?

Ответы

1. 0,9. 2. 0,4. 3. 0,7. 4. 5/9. 5. 2/3. 6. 1/720. 7. 0,0256. Указание. Событию «в цель попадают ровно 3 раза при 4 выстрелах» благоприятствуют 4 исхода: ААА . АА А, А АА, ААА, где А - попадание, - промах (запись ААА означает попадание при первом, втором, третьем выстрелах, промах - при четвертом выстреле). Вероятность каждого исхода одна и та же: 0,2·0,2·0,2·0,8 = 0,064, где 0,8 = 1 - 0,2 - вероятность промаха. Искомая вероятность p = 0,0256 = 4·0,064. 8. 0,092. У казание. Если обозначить = , = , = то искомая вероятность p = =P( =P()+P()+ . 9. 2/3. Указание. Найдите условную вероятность Р(А / В), где событие A - "выпадение четного числа оч­ков", а событие B - "выпадение числа очков, большего 3". 10. 1/30. Указание. Найдите вероятность события А = , где – “первой извлечена буква с”, – “второй извлечена буква m”, – “третьей извлечена буква о”. 11. 4/15. 12. 0,5. Указание. Примените формулу (1.8.17). 13. 57/115. Ука­зание. Примените формулу (1.8.12). 14. 1/24. 15. 0,72. 16. 0,23. Указание. Найдите сначала вероятность q противоположного события А, которое заключа­ется в том, что партия деталей будет принята. Это событие является произведе­нием пяти событий А = , где (k= 1, 2, 3, 4, 5) означает, что k-я проверенная деталь является стандартной. Далее, Р() = 95/100, Р() = 94/99 и т.п. 17. 1/6. 18. n≥2.

Вопросы

1. Чему равна вероятность суммы двух событий?

2. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

3. Сформулируйте теорему о вероятности суммы п несовместных событий.

4. Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу?

5. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

6. Сформулируйте теорему о вероятности произведения двух событий.

7. Как определяется независимость двух событий?

8. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

9. Сформулируйте теорему о вероятности произведения п событий?

10. Как определяется независимость п событий?

11. Чему равна вероятность произведения п независимых событий?

12. Как найти вероятность появления хотя бы одного из п независи­мых событий, имеющих одинаковые вероятности?

Формула полной вероятности

Рассмотрим n попарно несовместных событий , для которых известны вероятности P()≠0 (i= 1, 2, …, п) и событие Aϲ , причем известны условные вероятности P(А/ ). Вероятность события А oпределяется формулой

Дата добавления: 2015-12-08