Читайте также:
|
В случае квантово-механической системы состояние движения частицы описывается вектором состояния или эквивалентной ему волновой функцией, зависящей от координаты х и от времени. Среди всех возможных состояний нас будут интересовать только некоторые выделенные состояния — стационарные. Для них волновая функция, как обычно, имеет стандартный вид:
j(x, t) = j(x) • e– i w t
а ее пространственная часть j(х) является решением стационарного уравнения Шредингера: Н j(х) = Е j(х). Оператор Гамильтона включает в себя только оператор кинетической энергии (потенциальная энергия во всей доступной области пространства равна 0) и уравнение Шредингера (в промежутке от 0 до L) имеет точно такой же вид, что и для свободной частицы. Общий вид решений получается в точности таким же, что и для свободной частицы:
j(х) = А j+ + В j– = А • ехр[ i(p /h) x ] + В • ехр[– i(p /h) x ].
Принципиальное отличие данного случая заключается в том, что в любой точке за пределами ящика волновая функция должна быть равна 0 (поскольку вероятность найти там частицу равна нулю). Это означает, что на вид возможных волновых функций (решений уравнения) накладываются ограничения (граничные условия):
j(х = 0) = 0 и j(х = L) = 0.
Подставим эти граничные значения координаты х в выражение для волновой функции и получим:
j(0) = А • ехр (0) + В • ехр (0) = А + В = 0
j(L) = А • ехр [ i(p /h) L ] + В • ехр [– i (p /h) L ] = 0.
Из первого уравнения следует, что В = – А. Сделаем эту подстановку во второе уравнение и получим:
j(L) = А {ехр [ i(p /h) L ] – ехр [–i(p /h) L ]} = 0.
Разность двух комплексно сопряженных чисел, которая стоит в фигурных скобках, можно преобразовать в соответствии с формулой Муавра (ехр [i • m ] = cos [ m ] + i • sin [ m ]):
j(L) = А {ехр [ i(p /h) L ] – ехр [–i(p /h) L ]} = А • 2i • sin [(p /h) L ] = 0.
Синус равен нулю тогда, когда угол кратен 180°. Следовательно, получаем условие (p /h) L = p • n, где n — любое целое число (n = 0, 1, 2,...).
Отсюда следует, что значения импульса и энергии, при которых возможен стационарный тип движения частицы в ящике, определяются формулами:
р = [(ph)/ L ] • n и Е = [(p2h2)/2 mL 2] • n 2 = R • n 2
Константа R может рассматриваться как некоторая единица энергии, величина которой приспособлена к конкретной модели с заданными значениями размера ящика (L) и массы запертой в нем частицы (m).
Таким образом, для микроскопической частицы в ящике стационарными являются не любые состояния, а только некоторые, выделенные в отношении значений импульса и энергии. Поскольку такие состояния образуют дискретное множество, их можно пронумеровать с помощью целого числа n, которое называется поступательным (или трансляционным) квантовым числом.
Полученные результаты можно изобразить графически в виде энергетической и импульсной диаграмм, которые состоят из дискретного множества энергетических или импульсных уровней.
Уровни энергии образуют дискретный набор, расходящийся по квадратичному закону. Для характеристики подобных закономерностей часто используют понятие плотности уровней, которая равна числу уровней энергии, приходящихся на единичный интервал энергетической шкалы: W = dN / dE. Для рассматриваемого случая плотность уровней уменьшается по мере возрастания энергии по закону: W ~ 1/ E 2. Подчеркнем, что уровни энергии не вырождены, т.е. одному значению энергии отвечает одно состояние.
В связи с дискретным характером допустимых значений энергии, можно поставить такой вопрос: что произойдет, если приготовить частицу с начальной энергией, не совпадающей ни с одним из разрешенных значений? Такое начальное состояние будет нестационарным и с течением времени будет эволюционировать: в зависимости от внешнего окружения частица или потеряет или приобретет некоторое количество энергии. Эволюция закончится когда энергия частицы совпадет с одним из разрешенных значений.
Характер такой эволюции можно изобразить следующей схемой:
При любом начальном значении за малый промежуток времени (t *) энергия приобретет одно из стационарных значений и в дальнейшем будет оставаться постоянной. Механизм такой релаксации, обычно связан с электромагнитным взаимодействием между заряженной частицей и окружающей средой.
Поскольку время релаксации очень мало́ (для электронов t * ~ 10–8 с), то для больших промежутков времени можно вообще не принимать во внимание возможность короткоживущих нестационарных состояний и ограничиться рассмотрением только стационарных состояний. Именно такая ситуация имеет место в химии. Химические процессы сравнительно медленны, и поэтому короткоживущие нестационарные состояния атомов и молекул не оказывают на их протекание никакого влияния.
Обратимся теперь к анализу волновых функций, описывающих стационарные состояния. Мы выяснили, что они должны иметь вид:
j(х) = А • 2i • sin [(p /h) • х ] = А • 2i • sin [(p n / L) • x ].
Коэффициент А можно найти из условия нормировки: ò[j(х)]2 dx = 1.
Подставив выражение для функции, получим: 4 А 2òsin2[(p n / L) • x ] dx = 1. Табличный интеграл от квадрата синуса равен:
òsin2 (mx) dx = 1/2 х – (1/4 m) sin (2 mx)
Подставим пределы интегрирования (х = 0 и х = L) и получим:
4 А 2 òsin2 [(p n / L) • x ] dx = (4 А 2) [ L /2 – (L /4p n)sin(2p n)] = 1
или 4 А 2 (L /2) = A 2 (2 L) = 1, откуда найдем А = (1/2 L) 0,5.
Таким образом, окончательно получаем нормированный вид волновой функции:
j(х) = (2/ L) 0,5 • sin [(p n / L) • x ].
Заметим, что наличие или отсутствие множителя i (мнимой единицы) не играет никакой роли, так как при вычислении вероятностей (возведении в квадрат) он исчезает.
Теперь мы можем построить графические изображения самих волновых функций, а также их квадратов, которые задают пространственное распределение частицы по длине ящика.
Отметим некоторые характерные особенности полученного результата.
Во-первых, волновая функция действительно имеет вид "волны". В определенных точках эта волна меняет свой знак на противоположный. Такие точки называются узловыми (или просто узлами). Каждой волновой функции можно приписать определенную узловую структуру — количество узлов и характер их распределения в пространстве. Такая структура изменяется закономерно по мере увеличения энергии или квантового числа. Это проявление общего квантовомеханического правила: чем больше узлов, тем выше энергия.
Поэтому знание только узловой структуры волновых функций позволяет распределить соответствующие состояния по энергетической шкале (т.е. построить качественную энергетическую диаграмму).
Во-вторых, пространственное распределение частицы не является равномерным, как в классическом описании. Напротив, имеются области, где вероятность обнаружения частицы больше, и, соответственно, меньше. При этом, наблюдается характерная зависимость функции распределения от величины энергии или квантового числа. Только при чрезвычайно больших значениях квантового числа: n → ∞ ("классический предел"), минимумы и максимумы располагаются так тесно, что не могут быть обнаружены экспериментально, и мы получаем усредненное "квазиравномерное" распределение.
В третьих при n = 0 и Е = 0 волновая функция повсюду обращается в 0. Это означает, что в таком состоянии частицу обнаружить невозможно, и, следовательно, такое состояние не является физически допустимым. Поэтому в качестве минимально возможного значения квантового числа необходимо принять n = 1, чему соответствует не равная нулю минимально допустимая величина энергии Е 1 = R. Эта энергия называется нулевой энергией, так как от нее отсчитывают, обычно, энергии всех прочих уровней. Подчеркнем, что наличие нулевой энергии является чисто квантовым эффектом.
Рассмотрим некоторые обобщения полученных результатов.
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 58 | Нарушение авторских прав