Анализ в z-области

Свяжем уравнения состояния и выхода с передаточной функцией Н (z), введенной в п. 5.1. Для этого применим Z-преобразование к обеим частям равенств (9.1) и (9.2):

(9.9)

(9.10)

где X(z) — z-образ входного сигнала х (n),

Y(z) —z-образ выходного сигнала у(п),

Q(z) — z-образ последовательности векторов состояния q(п).

При нулевых начальных условиях (q (0) = 0) разрешим уравнение (9.9) относительно Q(z);

(9.11)

где I — единичная матрица порядка, совпадающего с порядком матрицы А;
операция [ ]^-1 означает обращение матрицы, находящейся в квадратных скобках.

Подставляя (9.11) в (9.10) и учитывая, что передаточная функция

Получаем

(9.12)

Выражение (9.12) связывает передаточную функцию ЛДС с матрицами уравнений состояния и выхода.

Существует несколько способов вычисления матрицы, обратной к заданной.
Воспользуемся тем, который описан в прил. 4:

(9.13)

где [∆іj]^T - транспонированная матрица алгебраических дополнений іj-x элементов матрицы

│zI – A│ — определитель матрицы [zI-A].

После подстановки (9.13) в (9.12) получим

(9.14)

В знаменателе выражения (9.14) находится определитель. Следовательно, он должен совпадать с полиномом знаменателя передаточной функции рекурсивной цифровой цепи. Покажем это на примере.

Пример 9.2. Передаточная функция рекурсивного звена второго порядка имеет вид

(9.15).

Для канонической структуры 1 в соответствии с (8.8) имеем

что совпадает со знаменателем (9.15).

Нахождение полюсов передаточной функции связано с решением уравнения

(9.16)

которое называют характеристическим уравнением системы. Корни характеристического уравнения называются собственными значениями матрицы А и обозначаются λ₁ λ₂,..., λ_N. Они обладают следующими важными свойствами:

- если коэффициенты характеристического уравнения есть скалярные величины, то собственные значения либо действительны, либо образуют комплексно-сопряженные пары и совпадают с полюсами передаточной функции:

- след матрицы А определяется как сумма элементов на главной диагонали, т. е.

- определитель матрицы А связан с собственными значениями соотношением

-если А— действительная симметрическая матрица, то все ее собственные значения действительны.

В соответствии с этими свойствами можно переформулировать критерий устойчивости (5.38): для того, чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения переходной матрицы системы не превышали по модулю единицы.

Введение понятия характеристического уравнения позволяет применить теорему Гамильтона - Кэли для вычисления больших степеней переходной матрицы А. Теорема утверждает, что каждая квадратная матрица должна удовлетворять своему характеристическому уравнению. Для иллюстрации применения теоремы Гамильтона — Кэли рассмотрим пример.

Пример 9.3. Пусть матрица А может быть записана в виде

Характеристическое уравнение для матрицы А соответствует выражению (9.16):

Применяя теорему Гамильтона — Кэли, получаем матричное уравнение

из которого имеем

Таким образом, матрицу А² можно выразить через матрицу А. Суть теоремы состоит в том, что матрицу А^м можно выразить как алгебраическую сумму матриц А^м-1, А^м-2,.... А. В результате последовательного применения теоремы матрица А^м в конечном счете выражается чрез матрицу А. Поэтому

Продолжая подобный итерационный процесс, можно вычислить матрицу А^м для сколь угодно большого М.

Дата добавления: 2015-12-08