Гирокомпасы с автономным чувствительным элементом (составление, решение и анализ уравнений незатухающих колебаний Ч.Э).

При рассмотрении способа технической реализа­ции морского гирокомпаса, основанного на непосредственном управле­нии движением гироскопа с помощью момента силы тяжести, было установлено, что указанный момент действует по оси У— У чувстви­тельного элемента. В силу этого обстоятельства допустима замена двухгироскопного чувствительного элемента одногироскопной мо­делью в том виде, в каком она представлена на рис. 2.11 ,а.

Используя способ проф. Б. И. Кудревича, (способ суммирвания проекций векторов моментов сил) составим дифференци­альные уравнения движения одногироскопной модели чувствительно­го элемента гирокомпаса типа «Курс».(рис. 2.12).

1. Поскольку изучаемое гироскопическое устройство является ги­рокомпасом, рассматриваем его поведение по отношению к горизонт-ной системе координат ONEn.

2. Система координат ONEn совершает угловое движение по отно­шению к инерциальному пространству вследствие суточного вращения Земли. Составляющими угловых скоростей указанного переносного движения являются векторы ω _} и ω₂. Наносим их на рисунок

Рис. 2.11

3. Изучаемое гироскопи­ческое устройство (одногироскопная модель чувствитель­ного элемента) связано с сис­темой координат так, как это показано на рис. 2.11,a. Век­тор Н направлен вдоль оси ОХ в положительную сторону.

4. Сообщаем оси ОХ в по­ложительную сторону угло­вые отклонения по отноше­нию к системе координат ONEn: от плоскости истинно­го меридиана на угол α и от плоскости истинного горизон­та на угол β.

5. Наносим на рисунок векторы относительных угло­вых скоростей .

6. Находим сумму проекций всех угловых скоростей, указанных в п. 2 и 5, на оси Y — Y и Z —Z чувствительного элемента. Получим

.

7. Определяем и наносим на рисунок гироскопические моменты:
R = Н q — направленный в положительную сторону оси OZ;

R = Н r — направленный в отрицательную сторону оси OY.

8 и 9. иг­норируем нутационные колебания чувствительного элемента гирокомпа­са, что исключает необходимость в учете инерционных моментов.

10. Учтем моменты внешних сил, влияние которых существенно в рассматриваемой задаче. В положении, изображенном на рис. 2.11,б, на гиросферу действуют сила веса Р, приложенная в точке G (центр
массы) и архимедова сила W_z — сила выталкивания, численно равная весу жидкости в объеме, вытесненном гиросферой, и приложенная в точке О. Поскольку гиросфера имеет небольшую отрицательную пла­вучесть, то Р > W_z, но с учетом действия силы Q_z, создаваемой устрой­ством электродинамического центрирования, в рабочем состоянии (при нейтральном положении чувствительного элемента) автоматиче­ски обеспечивается равенство Р = W_z + Q_z. В результате на гиросферу вокруг оси Y — Y действует момент пары сил L_y = P d - Р α sinβ = Mg α sin β = Bsin β. Указанный момент направ­лен в отрицательную сторону оси Y — Y.

11. Моментов сил инерции нет, поскольку считаем, что гироком­пас находится на неподвижном основании.

12. Находим сумму всех моментов, действующих по осям Y — Y и Z—Z чувствительного элемента, и приравниваем эти суммы к нулю.В результате получим R_y -L_y= -Н r- В sinβ = 0; R_Z = H q = 0.

Подставляя в полученные уравнения величины qи rв соответствии с выражениями (2.5), а также значения ω₁ и ω₁ в соответствии с выра­жениями (2.1), имеем следующую систему дифференциальных уравнений

13. Рассматривая задачу в рамках теории малых колебаний, при­нимаем sin a=a; cosα=1; sinβ =β; cosβ=1. Кроме того, в первом уравнении меняем знаки на противоположные. В результате предыду­щая система уравнений приобр. вид

(2.6)

14. Сопоставление численных значений коэффициентов при угле β в первом уравнении системы (2.6) для параметров чувствительного элемента гирокомпаса «Курс» дает неравенство В > > .

Поэ­тому с высокой степенью точности для практических целей приемлема следующая система дифференциальных уравнений:

2.7)

Полученная система уравнений полностью характеризует движе­ние главной оси ОХ чувствительного элемента относительно плоскости как истинного меридиана, так и истинного горизонта.

При анализе поведения какик-либо новых динамических систем является полезным метод аналогии, т.е. сопоставления их с уже изве­стными, желательно более простыми, устройствами. В данном случае удобным аналогом может служить математический маятник. Диффе­ренциальное уравнение плоских колебаний такого маятника известно, оно также может быть легко составлено самостоятельно с целью трени­ровки в использовании способа проф.Б.И.Кудревича для негироскопи­ческих систем.

Пользуясь рис.2.13, можно легко получить искомое уравнение, суммируя момент внешней силы (каковым является единственный учитываемый момент силы тяжести) и инерционный момент. В резуль­тате получим

или для малых углов

(2.8)

Возвратимся к системе уравнений (2.7) и найдем ее частное реше­ние, характеризующее положение динамического равновесия оси ОХ. Поскольку правая часть системы (2.7) в рассматриваемом случае по­стоянна во времени, ищем частное решение в виде α_r = const; β_r = const. Подставляя в систему уравнений (2.7) значения α_r и β_r их производные, имеющие нулевые значения, получим

(2.9)

Или (2.10)

Выражения (2.9) и (2.10) показывают, что положение равновесия главной оси ОХ чувствительного элемента гирокомпаса располагается точно в плоскости истинного меридиана и в общем случае отклонено от плоскости истинного горизонта. Рис.2.14 иллюстрирует сказанное для различных значений широты φ. Тот факт, что положение динамиче­ского равновесия по углу β отлично от нуля, имеет глубокий физиче­ский смысл.

Действительно, если существует угол β_r, то имеет место непрерыв­но действующий момент L = Bβ_r и соответственно прецессионное движение с угловой скоростью ω_pz=L_y/H =В β_r/H.

Подставляя в это выражение значение β_r по формуле (2.9), получим

(2.11)

Т.е. угловая скорость прецессии точно равняется угловой скорости вра­щения плоскости истинного меридиана в пространстве. Именно это обстоятельство делает возможным неограниченное по времени, т.е. сколь угодно длительное использование без ухудшения точности рас­сматриваемого устройства для целей индикации положения плоскости истинного меридиана.

Примечательным является также то обстоятельство, что результат (2.11) не зависит от значений параметров чувствительного элемента Н и В (они сократились). Иначе говоря, с принципиальных позиций для того, чтобы чувствительный элемент приобрел компасные свойства, ему достаточно иметь в своем составе гироскоп (параметр В отличен от нуля) и обладать положительным маятниковым эффектом (параметр В отличен от нуля). Необходимым условием является нали­чие у планеты собственного вращения Выполним по отношению к системе уравнений (2.7) операцию разделения переменных. Для этого продифференцируем по времени первое из уравнений этой системы. Получим . Отсюда найдем

и подставим найденное значение β во второе уравнение системы (2.7). В результате получим уравнение движения чувствительного элемента по углу а, т.е. по отношению к плоскости истинного меридиана:

(2.12)

Запишем рядом уравнение движения маятника (2.8)

Сопоставление уравнений (2.12) и (2.8) указывает на их полную структурную идентичность. Первые слагаемые в обоих уравнениях — это инерционные моменты параметр Н —динамический моментй инер­ции. Обращает на себя внимание огромное численное значение ди­намического момента инерции (пропорционально Н²) по сравнению с массовой характеристикой гироскопа. Вторые слагаемые — это пози­ционные моменты. Традиционно для маятника используется название "восстанавливающий момент", а для гироскопа "направляющий мо­мент". Направляющий момент по своей сути есть гироскопический момент, т.е. (2.13)

Характерно, что аналогично тому, как становится неопределен­ным положение маятника по отношению к вертикали в состоянии не­весомости (при компенсации ускорения свободного падения g), также неопределенным делается и положение динамического равновесия оси ОХ чувствительного элемента гирокомпаса при обращении в ноль на­правляющего момента R_z, или горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли (это имело бы место при отсутствии у пла­неты угловой скорости, а также происходит в широте φ = 90°) Естественно ожидать, что такая же неопределенность реально на­ступает и в некоторой окрестности полюса вследствие неизбежного существования неконтролируемых малых внешних возмущающих мо­ментов. Из сказанного вытекает, что направляющий момент R_z явля­ется важной характеристикой гирокомпа Приведем уравнения (2.12) и (2.8) к норм.виду:

(2 14)

где ω₀ — частота собственных незатухающих колебаний (T₀ = 2 π/ω₀ — период собственных незатухающих колебаний). Для гирокомпаса

(2.15)

(2.16)

для маятника

ω²₀ = g/l (2.17)

(2.18)

Из выражения (2.16) следует, что период Т₀ колебаний гироком­паса зависит от широты места.

Как известно, общее решение однородного уравнения (2.14) может быть представлено в следующем виде:

α = c₁ cos ω₀ t + с₂ ω₀ t, (2.19)

где с₁, и с₂ — произвольные постоянные интегрирования.

Для нахождения c₁ и с₂ необходимо задать начальные условия. Пусть при

t = 0 имеем a_{t = 0} = a_Q, β_{t= 0} = β_г. Подставляя в уравнение (2.19) значения t = 0 и α_{t = 0} = α₀, найдем, что c₁ = a_Q, т.е.

α = α_Q cos ω₀ t + с₂ ω₀ t. (2.20)

Дифференцируя выражение (2.20), получим = α_Q cos ω₀ t + с₂ ω₀ t.

Подставим данное значение в первое из уравнений системы (2.7), в результате имеем

Полагая здесь t = 0 и подставляя значение β_{t= 0} = β _r, получим

На основании значения β _r в соответствии с выражением (2.9) имеем

H с₂ω₀ = 0.

По постановке задачи H≠ 0 и ω₀≠ 0, следовательно, с₂ = 0. Ис­пользуя найденные значения c₁ = α₀ и с₂ = 0 в решении уравнения (2.19), окончательно пол­учим закон движения главной оси ОХ чувствительного элемен­та гирокомпаса по отношению к плоскости истинного меридиана в следующем виде:α=α₀cosω₀t (2.21)

рис. 2.16

Дифференцируя это решение и подставляя значение

в первое уравнение системы (2.7), найдем закон движения оси ОХ по отношению к плоскости истинно­го горизонта:

(2.22)

где

Таким образом, и по углу а, и по углу β главная ось чувствительного элемента ОХ совершает незатухающие колебания, которые находятся в квадратуре одно по отношению к другому, т.е. сдвинуты по фазе на 90°.

Нетрудно найти траекторию движения конца оси ОХ, используя обычный прием исключения из выражения (2.21) и (2.22) времени t. Для этого сначала представим их в виде

а затем, возводя в квадрат левую и правую части и почленно суммируя, найдем

(2.23)

Полученное уравнение показывает, что траекторией является эл­липс с полуосями: большой а₀ и малой β_Q. Центр эллипса имеет коор­динаты: а = 0,β = β _r (рис.2.16). Теперь становится окончательно ясен смысл выражения "положение динамического равновесия чувстви­тельного элемента располагается в плоскости истинного меридиана": в плоскости истинного меридиана находится не физическая ось ОХ чув­ствительного элемента, а центр, вокруг которого эта ось совершает незатухающие колебания. Сжатие эллипса определяется соотношени­ем полуосей a_Q и β₀, т.е. имеет значение

(2.24)

4. Апериодические гирокомпасы

При движении судна постоянным курсом и с постоянной скоростью глав­ная ось чувствительного элемента устанавливается в плоскости гироскопи­ческого меридиана, т. е. в положении динамического равновесия, определя­емого скоростной девиацией. При изменении курса или скорости меняется и положение динамического равновесия, соответствующее теперь уже новым параметрам движения судна. Выясним характер движения главной оси в новое положение гироскопи­ческого меридиана для частного случая, когда судно изменяет скорость, а ус­покоитель колебаний отключен. Всякое изменение режима движения судна приводит к сообщению точ­ке опоры гирокомпаса некоторого ускорения . За время Δtманевра ось гироскопа выйдет из положения динамического равновесия и повернется на угол .Знак минус означает, что инерционное перемещение происходит к западу.Теперь определим положения гироскопических меридианов (динами­ческого равновесия), соответствующие скоростям судна до маневра и в конце его. Они отстоят от плоскости истинного меридиана на углы скорост­ных девиаций δ₁ и δ _2.

, .Из рис. ясно, что для нашего случая (V_N2> V_N1) новое положение динамического равновесия сместилось к западу на значение: . Но в ту же сторону (к западу) происходило и инерционное перемещение полюса гироскопа. Оказывается, что инерционная прецессия главной оси гирокомпаса всегда происходит в сторону нового положения динамического равновесия (нового гироскопического меридиана). Если на момент окончания маневра главная ось окажется в новом поло­жении динамического равновесия, то говорят, что ее переход произошел апериодически (не колебательно).Условию апериодического перехода, очевидно, отвечает равенство , , . Это математическое выражение условия апериодического перехода оси гирокомпаса в новое положение равновесия при маневре впервые получил немецкий физик М. Шулер в 1923 г. Оно известно под названием теоремы Шулера. В равенстве левые и правые части представляют собой соответ­ственно квадраты частот незатухающих колебаний гиросферы и математи­ческого маятника с длиной нити, равной радиусу Земли ω₀²=ω^2.. При равенстве частот колебаний равны и их периоды T₀=T. ,

=84,4 мин. Таким образом, для выполнения условия апериодического перехода период T₀ незатухающих колебаний гирокомпаса должен быть равен 84,4 мин. Однако такое значение периода T₀ подбором конструктивных пара­метров гирокомпаса — кинетического момента Н_г и модуля В = Mga — может быть получено только для одной широты. Она называется расчетной и для отечественных ГК равна 60°. Гирокомпасы, у которых в определенном диапазоне широт выполняется условие апериодических переходов (Г₀ = 84,4 мин), получили название апериодических. Это достигается регулировкой в зависимости от широты плавания значения Н_Г (путем разведения гироскопов внутри гиросферы) или модуля В = Mga момента маятника. Достоинства апериодических гирокомпасов: приход главной оси ГК в новое положение равновесия сразу же после окончания маневра.

Дата добавления: 2015-12-08