Условия наблюдаемости непрерывных и дискретных систем

Рассмотрим динамическую систему с вектором состояния x, вектором управления и вектором измерения . Предположим, что возмущения и ошибки измерений отсутствуют, т.е. наблюдаемость рассматривается в идеальных условиях и система может быть как дискретной, так и непрерывной.

Пусть непрерывная линейная система характеризуется

; (1)

(2)

для t ³ t₀ все члены определены и известная функция времени, но неизвестно.

Требуется определить , исследуя на некотором конечном интервале времени (t₀,t₁). Очевидно, если имеет размер n´n и неособенная для всех t ³ t₀, то

и вопрос о наблюдаемости решается.

Таким образом, непрерывная линейная система (1), (2) называется наблюдаемой, если можно определить, зная , t₀ £ t £ t₁ для некоторого конечного t₁. Если это справедливо для любого t₀, то система называется полностью наблюдаемой.

Рассмотрим без доказательства теорему и следствие, на основе которых можно судить о наблюдаемости системы.

Теорема 1. Непрерывная линейная система (1), (2) является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда симметричная матрица размером n´n

(3)

положительно определена для некоторого конечного t₁ > t₀.

Тогда

. (4)

Следствие 1. Стационарная непрерывная линейная система

, , где t ³ t₀ полностью наблюдаемая тогда и только тогда, когда матрица размером n´mn

(5)

имеет ранг n.

Для примера 1,

,

имеем

.

Тогда

ранг = ранг = 2.

Поэтому система полностью наблюдаемая.

С другой стороны, если измеряется только ошибка по скорости измерения угла рыскания так, что H = 0 1, то

,

ранг = ранг = 1.

В этом случае система ненаблюдаемая.

Рассмотрим теперь дискретную линейную систему

, (6)

, (7)

где k = 0,1,.…

Дискретная линейная система (6), (7) называется наблюдаемой, если x(0) можно определить из множества наблюдений { (1),..., (N)} при конечном N. Если это справедливо для любого начального времени (k = 0 соответствует t), то система называется полностью наблюдаемой.

Теорема 2 Дискретная система (6), (7) является полностью наблюдаемой только тогда, когда симметричная матрица размером n´n

(8)

положительно определена для некоторого N > 0,

где Ф(i,0) = Ф(i,i-1)Ф(i-1,i-2),...,Ф(1,0), i = 1,...,N.

Тогда

.

Следствие 2 Стационарная дискретная линейная система x(k+1) = Фx(k); u(k+1) = H x(k+1), k = 0,1,... является полностью наблюдаемой только тогда, когда матрица размером n´mn

(9)

имеет ранг n.

Если вновь ввести возмущения и ошибки измерения, получится более сложная задача. Однако если задача оценки не может быть решена при идеальных обстоятельствах, нет смысла ее решать в присутствии возмущений и ошибок измерения. По этой причине предполагается, что системы, рассматриваемые в дальнейшем при исследовании задач оценки, являются полностью наблюдаемыми.

Дата добавления: 2015-12-08