В сосуд, содержащий 5 литров 10%-ного водного раствора некоторого вещества добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

Читайте также:

C1.1.

а). Решите уравнение:

б). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а).

Так как при любом , то преобразовываем:

1).

2).

б). Промежутку принадлежат следующие корни уравнения:

1).

2).

Ответ:

а).

б).

С2.1.

В прямоугольном параллелепипеде .
Найдите угол между прямой и плоскостью Решение:

проведем высоту к плоскости

так как равен половине диагонали квадрата

Искомый угол между прямой и плоскостью находим следующим образом:

Следовательно, искомый угол равен

Ответ:

С3.1.

Решите систему неравенств:

Решение:

Начнем с первого неравенства:

Пусть тогда:

Второе неравенство:

ОДЗ:

1). если

С учетом ОДЗ:

2). если

Объединив оба случая, получим:

Теперь решим следующую систему:

Откуда решением будет:

Ответ:

С4.1.

Боковые стороны и и трапеции равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые и пересекаются в точке . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник

Решение:

Возможны два варианта:

1).

Так как средняя линия равна 24, а , то получим с одной стороны , а с другой стороны: Откуда

— по формуле Герона

Следовательно,

2).

В данном случае и

Ответ: 2 или 6

C5.1.

Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции на множестве не меньше 6.

Решение:

Функция задана на

Ее вершина находится в точке (соответственно, ) и является точкой минимума функции ( - парабола с ветвями, направленными вверх). Если точка минимум попадает в промежутки , то наименьшее значение достигается в этой точке, если не попадает, то наименьшее значение функции достигается на одном из концов промежутков.

1). . при следовательно, среди необходимых нам значений нет.

2). . при следовательно, — одно из решений.

3). Если , то наименьшее значение достигается в точке решением будет являться

4). Если , то по аналогии с пунктом (3) решением будет являться

5). Если , решая по аналогии с предыдущими пунктами, получаем решение

Объединив, получаем:

Ответ:

С6.1.

Каждое из чисел по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел . После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а). Может ли в результате получиться 0?
б). Может ли в результате получиться 1?
в). Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение:

а). Нет, так как в наборе должны тогда быть два противоположных числа, чтобы одна из сумм стала равной нулю.

б). Нет, так как в обоих наборах 4 четных и 6 нечетных чисел, следовательно, минимум две суммы будут четными и, соответственно, произведение будет четное, а 1 — нечетное число.

в). 4, так как минимум две суммы будут четными (соответственно восемь сумм нечетные), то наименьшее целое неотрицательное число может получиться если нечетные суммы равны 1 или -1 (так чтобы их произведение было положительным), а четные обе равны или 2 или -2 ( или ):

В10.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 14 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:

Рассмотрим сначала сумма, каких чисел от 1 до 6 даст нам 14:

1). 2+6+6 (может также выпасть в другом порядке: 6+2+6 и 6+6+2) — итого 3 варианта

2). 3+5+6 (может также выпасть в другом порядке: 5+6+3; 6+5+3; 3+6+5; 5+3+6 и 6+3+5) — итого 6 вариантов

3). 4+4+6 (может также выпасть в другом порядке: 6+4+4 и 4+6+4) — итого 3 варианта

4). 5+5+4 (может также выпасть в другом порядке: 5+4+5 и 4+5+5) — итого 3 варианта

То есть сумма в 14 очков может выпасть 15 различными способами.

Всего различных вариантов при броске трех игральных костей равно