Читайте также:
|
Вариант берется по двум последним цифрам зачетной книжки.
Варианты контрольной работы
| № варианта | Задания | № варианта | Задания |
| 10, 50, 61, 90, 119, 148, 175, 200 | |||
| 1, 26, 51,76, 101, 126, 151, 176 | 2, 27, 52, 77, 102, 127, 152, 177 | ||
| 3, 28, 53, 78, 103, 128, 153, 178 | 4, 29, 54, 79, 104, 129, 154, 179 | ||
| 5, 30, 55, 80, 105, 130, 155, 180 | 6, 31, 56, 81, 106, 131, 156, 181 | ||
| 7, 32, 57, 82, 107, 132,157, 182 | 8, 33, 58, 83, 108, 133, 158, 183 | ||
| 9, 34, 59, 84, 109, 134, 159, 184 | 10, 35, 60, 85, 110, 135, 160, 185 | ||
| 11, 36, 61, 86, 111, 136, 161, 186 | 12, 37, 62, 87, 112, 137, 162, 187 | ||
| 13, 38, 63, 88, 113, 138, 163, 188 | 14, 39, 64, 89, 114, 139, 164, 189 | ||
| 15, 40, 65, 90, 115, 140, 165, 190 | 16, 41, 66, 91, 116, 141, 166, 191 | ||
| 17, 42, 67, 92, 117, 142, 167, 192 | 18, 43, 68,93, 118, 143, 168, 193 | ||
| 19, 44, 69, 94, 119, 144, 169, 194 | 20, 45, 70, 95, 120, 145, 170, 195 | ||
| 21, 46, 71, 96, 121, 146, 171, 196 | 22, 47, 72, 97, 122, 147, 172, 197 | ||
| 23, 48, 73, 98, 123, 148, 173, 198 | 24, 49, 74, 99, 124, 149, 174, 199 | ||
| 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200 | 1, 27, 53, 79, 105, 131, 151, 176 | ||
| 2, 28, 54, 80, 106, 132, 152, 177 | 3, 29, 55, 81, 107, 133, 153, 178 | ||
| 4, 30, 56, 82, 108, 134, 154, 179 | 5, 31, 57, 83, 109, 135, 155, 180 | ||
| 6, 32, 58, 84, 110, 136, 156, 181 | 7, 33, 59, 85, 111, 137, 157, 182 | ||
| 8,34,60, 86, 112, 138, 158, 183 | 9, 35, 61, 87, 113, 139, 159, 184 | ||
| 10, 36, 62, 88, 114, 140, 160, 185 | 11, 37, 63, 89, 115, 141, 161, 186 | ||
| 12, 38, 64, 90, 116, 142, 162, 187 | 13, 39, 65, 91, 117, 143, 163, 188 | ||
| 14, 40, 66, 92, 118, 144, 164, 189 | 15, 41, 67, 93, 119, 145, 165, 190 | ||
| 16, 42, 68, 94, 120, 146, 166, 191 | 17, 43, 69, 95, 121, 147, 167, 192 | ||
| 18, 44, 70, 96, 122, 148, 168, 193 | 19, 45, 71, 97, 123, 149, 169, 194 | ||
| 20, 46, 72, 98, 124, 150, 170, 195 | 21, 47, 73, 99, 125, 126, 171, 196 | ||
| 22, 48, 74, 100, 101, 127, 172, 197 | 23, 49, 75, 76, 102, 128, 173, 198 | ||
| 24, 50, 51, 77, 103, 129, 174, 199 | 25, 26, 52, 78, 104, 130, 175, 200 | ||
| 1, 28, 55, 82, 109, 136, 151, 176 | 2, 29, 56, 83, 110, 137, 152, 177 | ||
| 3, 30, 57, 84, 111, 138, 153, 178 | 4, 31, 58, 85, 112, 139, 154, 179 | ||
| 5, 32, 59, 86, 113, 140, 155, 180 | 6, 33, 60, 87, 114, 141, 156, 181 | ||
| 7, 34, 61, 88, 115, 142, 157, 182 | 8, 35, 62, 89, 116, 143, 158, 183 | ||
| 9, 36, 62,90, 117, 144, 159, 184 | 10, 37, 63, 91, 118, 145, 160, 185 | ||
| 11, 38, 64, 92, 119, 146, 161, 186 | 12, 39, 65, 93, 120, 147, 162, 187 | ||
| 13, 40, 67, 94, 121, 148, 163, 188 | 14, 41, 68, 95, 122, 149, 164, 189 | ||
| 15, 42, 69, 96, 123, 150, 165, 190 | 16, 43, 70, 97, 124, 126, 166, 191 | ||
| 17, 44, 71, 98, 125, 127, 167, 192 | 18, 45, 72, 99, 101, 129, 168, 193 | ||
| 19, 46, 73, 100, 102, 129, 169, 194 | 20, 47, 74, 76, 103, 130, 170, 195 | ||
| 21, 48, 75, 77, 104, 131, 171, 196 | 22, 49, 51, 78, 105, 132, 172. 197 | ||
| 23, 50, 52, 79, 106, 133, 173, 198 | 24, 26, 53, 80, 107, 134, 174, 199 | ||
| 25, 27, 54, 81, 108, 135, 175, 200 | 1, 29, 57, 85, 113, 141, 151, 176 | ||
| 2, 30, 58, 86, 114, 142, 152, 177 | 3, 31, 59, 87, 115, 143, 153, 178 | ||
| 4, 32, 60, 88, 116, 144, 154, 179 | 5, 33, 61, 89, 117, 145, 155, 180 | ||
| 6, 34, 62, 90, 118, 146, 156, 181 | 7, 35, 63, 91, 119, 147, 157, 182 | ||
| 8, 36, 64, 92, 120, 148, 158, 183 | 9, 37, 65, 93, 121, 149, 159, 184 | ||
| 10, 38, 66, 94, 122, 150, 160, 185 | 11, 39, 67, 95, 123, 126, 161, 186 | ||
| 12, 40, 68, 96, 124, 127, 162, 187 | 13, 41, 69, 97, 125, 128, 163, 188 | ||
| 14, 42, 70, 98, 101, 129, 164, 189 | 15, 43, 71, 99, 102, 130, 165, 190 | ||
| 16, 44, 72, 100, 103, 131, 166, 191 | 17, 45, 73, 76, 104, 132, 167, 192 | ||
| 18, 46, 74, 77, 105, 133, 168, 193 | 19, 47, 75, 78, 106, 134, 169, 194 | ||
| 20, 48, 51, 79, 107, 135, 170, 195 | 21, 49, 52, 80, 108, 136, 171, 196 | ||
| 22, 50, 53, 81, 109, 137, 172, 197 | 23, 26, 54, 82, 110, 138, 173, 198 | ||
| 24, 27, 55, 83, 111, 139, 174, 199 |
Указания к выполнению контрольной работы 1
Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Матрицы, операции над ними. Определители
Литература. [1], Гл. X, § 1, 2.; [3], Гл. VII, § 1 разобрать пример № 1.
Можно использовать также [6], Гл. I, § 1-3.; [7], Гл. I, § 1, 2 задачи 1.1.1., 1.1.5., 1.2.13., 1.4.1.; [5], Гл. IV, § 2 задачи 400-403.
Системы линейных уравнений. Правило Крамера
Литература. [1], Гл. X, § 3, 4.; [3], Гл. VII, § 2 разобрать примеры № 1-2.
Можно использовать также [6], Гл. I, § 4.; [7], Гл. II, § 1-3 задачи 2.1.2., 2.2.2.
Векторы
Литература. [1], Гл. III, § 1-4, Гл. IX, § 1-5.; [3], Гл. III, § 1-4 задачи 1-5, 16-18, 22-24, 38-40, 42-47; Гл. X, § 1-3 задачи 6-14, 22-33.
Можно использовать также [6], Гл. II, § 5.; [7], Гл. III, § 1 задачи 3.1.1., 3.1.13.-3.1.20.
Скалярное произведение векторов
Литература. [1], Гл. IX, § 6.; [3], Гл. X, § 4 задачи 41-51.
Можно использовать также [6], Гл. II, § 6.; [7], Гл. III, § 2 задачи 3.2.1., 3.2.4., 3.2.8.
Векторное произведение векторов
Литература. [1], Гл. IX, § 7.; [3], Гл. X, § 5 задачи 63-73.
Можно использовать также [6], Гл. II, § 7.; [7], Гл. III, § 3 задачи 3.3.1., 3.3.5., 3.3.9.
Смешанное произведение векторов
Литература. [1], Гл. IX, § 8.; [3], Гл. X, § 6 задачи 83-88, 98-100.
Можно использовать также [6], Гл. II, § 8.; [7], Гл. III, § 4 задачи 3.4.1., 3.4.4.
Линии на плоскости и в пространстве
Литература. [1], Гл. III, § 5-6, Гл. IX, § 9-13.; [3], Гл. III, § 5-7 задачи 52-54, 59-67, 68-85; Гл. X, § 7-9 задачи 101-103, 114-122,130-138, 153-162, 165-168, 172-181.
Можно использовать также [6], Гл. III, § 10.; [7], Гл. IV, § 1-2 задачи 4.2.1., 4.2.6., 4.2.8., 4.2.57., 4.2.67., 4.2.68.
Линии второго порядка
Литература. [1], Гл. III, § 7-8, Гл. IX, § 9-14.; [3], Гл. III, § 8 задачи 126-132, 139-147, 150-155.; Гл. X, § 10 задачи 166-171.
Можно использовать также [6], Гл. III, § 11.; [7], Гл. IV, § 3 задачи 4.3.1., 4.3.28., 4.3.31., 4.3.60., 4.3.64., 4.3.105, 4.3.106.
Уравнения поверхности и линии в пространстве
Литература. [4], Гл. III, § 3.1-3.4; [4], Гл. III, § 3.1-3.4 задачи 1-28;[6], Гл. IV, § 12.; [7], Гл. V, § 1-5 задачи 5.1.1., 5.1.29., 5.2.6., 5.2.7., 5.2.12., 5.2.41, 5.3.1., 5.3.5., 5.3.7., 5.3.25., 5.4.3., 5.4.8., 5.5.1., 5.5.4., 5.5.14., 5.5.15., 5.5.17.
Примеры решения типовых задач
№ 1. Даны координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4.
А1 (0; 2; - 2), А2 (1; 0; - 1), А3 (0; 5; - 1), А4 (0; 2; 1).
Найти: 1) длину ребра А1 А2; 2) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4; 3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3; 4) площадь грани А1 А2 А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1 А2; 7) уравнение плоскости А1 А2 А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
Решение
1. Найти длину ребра А1 А2.
(ед)
2. Найти угол между ребрами А1 А2 и А1 А4.
, отсюда
,
где 
и 
.
и 
,
, значит 
.
3. Найти угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3.
Угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3 вычисляется по формуле: 
, где направляющий вектор прямой А1 А4, а 
- нормальный вектор плоскости (А1 А2 А3). 
.
Составим уравнение плоскости (А1 А2 А3).
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки
А1 (0; 2; -2), А2 (1; 01; -1) и А3 (0; 5; -1) имеет вид:
; 
;
;
;
;
(умножим на - 1);
- уравнение плоскости А1 А2 А3.
- нормальный вектор плоскости А1 А2 А3.
,
отсюда 
.
4. Найти площадь грани А1 А2 А3.
Найдем векторное произведение векторов 
и 
.
S параллелограмма 
, 
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, т.е. S треугольника = 
(ед 2).
5. Найти объем пирамиды А1 А2 А3 А4.
Объем пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения трех векторов, т.е.
,
, и 
.
6. Составить уравнение прямой А1 А2.
- направляющий вектор прямой 
, точка 
лежит на прямой. Тогда каноническое уравнение прямой 
имеет вид: 
, 
.
7. Составить уравнение плоскости А1 А2 А3.
- уравнение плоскости А1 А2 А3.
(Решение см. в пункте 3).
8. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3.
- уравнение плоскости А1 А2 А3.
- нормаль плоскости А1 А2 А3. Высота опущенная из вершины А4 (0; 2; 1) на грань А1 А2 А3 перпендикулярна к ней.
(А1 А2 А3) и высота А4H 
(А1 А2 А3), следовательно 
||(А4H). Вектор 
является направляющим вектором высоты А4H. Тогда каноническое уравнение прямой 
имеет вид: 
, 
.
z
А4
0 y
А2 А3
x
А1
№ 2.
а) Дан треугольник АВС с вершинами А (-5; 4), В (3; -2), С (-8; -5). Составить уравнение медианы СК и высоты АН.
Решение
1) А (х - х0) + В (у – у0) = 0, где (А; В) координаты нормального вектора прямой СК, (х0; у0) – координаты точки С (-8; -5).
Найдем координаты точки К.
; 
; К (-1;1); 
= (7; 6); нормальный вектор прямой СК имеет координаты (6; -7).
6(х + 8)- 7(у + 5) = 0
6 х - 7 у + 13 = 0 - уравнение медианы СК.
2) А (х - х0) + В (у – у0) = 0, где (А; В) координаты нормального вектора прямой АН, (х0; у0) – координаты точки А (-5; 4).
Нормальным вектором прямой АН является вектор 
= (11; 3).
11(х + 5)+ 3(у - 4) = 0
11 х + 3 у + 43 = 0 - уравнение высоты АН.
у
А (-5; 4)
К
х
В (3; -2)
Н
С (-8; -5).
б) Даны две последовательные вершины параллелограмма А (- 5; 3) и В (2; 7), точка пересечения его диагоналей К (- 1; 2). Найти остальные вершины параллелограмма.
 |
Решение 7 В
А 3
К
С х
- 5 - 4 - 1 3
Д - 3
Для нахождения координат точки С воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:
, 
, где 
- отношение 
, = 1, т.к диагонали в параллелограмме пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
и 
.
, 
. С (3; 1).
Для нахождения координат точки Д воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:
, 
, где - отношение 
, = 1, т.к диагонали в параллелограмме пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
и 
.
, 
. Д (- 4; - 3).
№ 3. Установить, какая линия определяется данным уравнением. Изобразить данную линию на чертеже, охарактеризовав ее.
а) х 2 + у 2 + 6 х +10 у – 15 = 0.
Преобразуем данное уравнение:
х 2 + 6 х + 9 + у 2 + 10 у – 9 – 25 - 15 = 0;
 |  |
(х +3)2 + (у + 5)2 - 49 = 0 – уравнение окружности с центром в точке (- 3; - 5), радиусом 7.
у
х
О (- 3; - 5)
б) 9 х 2 + 16 у 2 = 144.
Разделим обе части уравнения на 144:
(каноническое уравнение эллипса 
), а 2 = 16, b 2 = 9, значит, а = 4, b = 3.
Координаты вершин эллипса: А 1,2 (
а; 0), В 1,2 (0; b)
А 1,2 ( 4; 0), В 1,2 (0; 3); а > b.
Большая ось эллипса | А 1 А 2| = 2 а = 8, малая ось эллипса | В 1 В 2| = 2 b = 6.
Определим координаты фокусов (фокусы эллипса находятся на большой оси), для этого воспользуемся формулой с 2 = а 2 - b 2;
.
Координаты фокусов: F 1,2 ( с; 0)
F 1,2 ( 
; 0).
Эксцентриситет эллипса 
(для случая b > а, 
).
Построим график эллипса у
В 1 3
А 2 F 2 F 1 А 1
- 4 - 4 х
- 3
В 2
в) 25 х 2 - 9 у 2 - 100 х – 54 у – 206 = 0.
Преобразуем данное уравнение:
(25 х 2 - 100 х)– (9 у 2 + 54 у) – 206 = 0;
25(х 2 - 4 х)– 9(у 2 + 6 у) – 206 = 0;
25(х 2 - 4 х + 4)– 100 – 9(у 2 + 6 у + 9) + 81 –206 = 0;
25(х – 2)2 – 100 – 9(у + 3)2 + 81 – 206 = 0;
25(х – 2)2 – 9(у + 3)2 – 225 = 0;
25(х – 2)2 – 9(у + 3)2 = 225;
– каноническое уравнение гиперболы со смещенным центром 
.
а 2 = 9, b 2 = 25, значит, а = 3, b = 5. Центр гиперболы находится в точке (2; - 3)
Координаты вершин гиперболы:
действительные вершины: А 1 (5; - 3), А 2 (- 1; - 3),
мнимые вершины: В 1 (2; 2), В 2 (2; - 8).
Действительная ось гиперболы | А 1 А 2| = 2 а = 6, мнимая ось гиперболы | В 1 В 2| = 2 b = 10.
Определим координаты фокусов (фокусы гиперболы находятся на действительной оси), для этого воспользуемся формулой с 2 = а 2 + b 2;
.
Координаты фокусов: F 1 (5 + 
; - 3), F 2 (2 - ; - 3).
Эксцентриситет эллипса 
(для случая 
, ). у
Построим график гиперболы
В 1
- 3 - 1 2 х
F 2 А 2 А 1 F 1
- 8 В 2
г) х = 1 - 
.
Преобразуем данное уравнение:
х - 1 = - ;
(х – 1)2 = (- )2;
;
- общее уравнение параболы, с вершиной в точке (1; 3), направлением ветвей вниз, с осью симметрии х = 1.
Построим график параболы: 
№ 4. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.
Метод Крамера.
;
1. Найдем определитель данной системы: 
.
2. Найдем определители 
, где 
получен из 
путём замены первого столбца на столбец свободных членов, остальные определители находятся аналогично.
, 
, 
.
3. Находим значения неизвестных 
: 
4. Делаем проверку:
; 
; 
.
Ответ: 
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 59 | Нарушение авторских прав