Числовые характеристики выборочной

Совокупности

Числовыми характеристиками случайного признака в выборке являются:

1) выборочная средняя (выборочный начальный момент первого порядка ):

или ; (10.1)

2) выборочная дисперсия (выборочный центральный момент второго порядка ):

или (10.2)

3) выборочное среднее квадратичное отклонение

(10.3)

4) модой М_о эмпирического распределения называется значение признака, обладающего наибольшей частотой;

для интервального вариационного ряда

(10.4)

где - нижняя граница модального интервала,

- частоты модального, предмодального и послемодального интервалов,

h - ширина интервала (шаг ряда);

5) медианой М_е эмпирического распределения называется значение случайного признака, делящего выборочную совокупность на две равновеликие части; для дискретного ряда медиана равна или , для интервального -

(10.5)

где нижняя граница медианного интервала, определяемого по вы-

шеуказанному правилу;

n - объем выборки;

m_e - частота медианного интервала;

S_{- 1} - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

6) коэффициент вариации V = (10.6)

7) асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

(10.7)

где выборочные центральные моменты определяются через начальные моменты случайной величины соотношениями

В задачах 10.5 – 10.7 вычислить характеристики выборочной совокупности (среднее значение случайного признака, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, коэффициент вариации, асимметрию и эксцесс).

10.5.

Интервалы	5 – 7	7 – 9	9 – 11	11 – 13	13 – 15	15 – 17
Частоты

10.6.

Интервалы	10 – 14	14 – 18	18 – 22	22 – 26	26 – 30	30 – 34
Частоты

10.7.

Интервалы	2 – 4	4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 –12	12 –14
Частоты

В том случае, когда значения случайного признака в выборке выражены большими числами, затрудняющими процедуры вычислений, можно использовать линейное преобразование вида

(10.8)

где h – шаг ряда (ширина интервала),

x_m - мода выборочного распределения.

Преобразование вносит в выборку систематическую ошибку x_m , при этом результат подвергается преобразованию масштаба с коэффициентом В итоге новые варианты u ₁, u₂, …, u_n можно рассматривать как выборку из генеральной совокупности Тогда выборочные моменты случайной величины Х определяются через соответствующие моменты случайной величины U следующим образом:

в частности, откуда следует, что

10.8. Вычислить для данной выборки.

Интервалы	134-138	138-142	142-146	146-150	150-154	154-158
Частоты

¢ Преобразуем интервальный ряд в дискретный, взяв в качестве дискретных значений x_i признака середины интервалов. Одновременно преобразуем случайную величину Х в случайную величину U при h = 4 и x_m = 148. Составим рабочую таблицу (10.3).

Таблица 10.3

xi	mi	ui	ui mi
		- 3	- 3		- 27
		- 2	- 6		- 24
		-1	- 15		- 15
			- 6		- 36

Заполнив таблицу, вычисляем выборочные начальные моменты «условного» признака U:

Далее находим выборочные центральные моменты признака U.

Наконец, определяем искомые характеристики выборки:

£

Дата добавления: 2015-12-08