Бинарное обнаружение сигнала со случайной амплитудой и фазой. Отношение правдоподобия. Характеристики обнаружения. Структурная схема обнаружителя.

Во многих практических задачах случайным пара­метром обнаруживаемого сиг­нала наряду с началь­ной фазой φ является и его амплитуда. В этом случае в мо­дель сиг­нала вводят дополнительный случайный параметр — амплитуду А: Когда амплитуда и началь­ная фаза независимы, сов­местная априорная ПВ А и φ W₀(A,φ)= W₀(A)W₀(φ). Тогда ОП: , где z(A,φ)=Az(φ); E(A)=A²E; z(φ) и E представляют собой корреляцию принятого колебания y(t) с сигналом единичной амплитуды s(t; φ) = Re{ S (t)exp[j(2 πf₀t +φ)]} в функции от фазы (φ и эне­ргию s(t;φ). Счи­тая ПВ начальной фазы W₀(φ) равно­мерной и выполняя в (3.20) интегрирование по φ получим .

Так как подынтегральное выражение в (3.21) неотри­цательно, а l₀ (х)—моно­тонная функция своего аргумента при x≥0, то l также монотонная функция стати­стики Z и структура оптимального обнаружителя при любом распределении W₀(A) будет такой же, как и для сигнала со случайной начальной фазой и фиксированной амп­литудой. Т.о., структуры, приведенные на рис. 3.7, 3.8, оптимальны и в том слу­чае, когда у сигнала случайна не только фаза, но и ам­плитуда, причем конкретный вид ПВ W₀(A) может влиять только на пороговые зна­чения Z_n.

Вероятность ложной тревоги определяется первым из выражений: . Для вычисления вероятности пропуска р_пс необ­ходимо задать вид распределения W₀(A), так как ,где р_пс(А) — вероятность пропуска сигнала с конкретным значением А. Чаще других на практике встречается рэлеевская модель флуктуации амплитуды:

хорошо согласующаяся, например, с реальными мерца­ниями сигналов, отра­жен­ных от радиолокационных целей, федингом в линиях радиосвязи и т. п. Выбор пара­метра σ_А² здесь произволен, так как истинная огибающая сигнала в момент t есть A| S (t)|= AS(t) и увеличение А во сколько-то раз при соответст­вующем уменьшении S(t) значения оги­бающей не изменит. Обычно σ_А² выбирают из условия . При этом средняя энергия сигнала равна энергии сигнала E при единичной ампли­туде. Так как для рэлеевской случайной величины , то для выполнения условия необходимо, чтобы . Для рэлеевских флук­туации А значение р_пс можно вычислить, не прибегая к интегрированию. Мгно­венные значения радиосигнала с начальной фазой, распреде­ленной равномерно, и с амплитудой, флук­туирующей по закону Рэлея, нормальны с нулевым средним.

Для построения характеристик об­нару­жения служит следующее равенство:

Характеристики обнаружения сигнала со случайной фазой и рэлеевскими флук­туа­циями амплитуды на рис. 3,6 нанесены штрихпунктиром. Их особенность со­стоит в том, что они пересекают аналогичные кривые для сигнала фиксированной ампли­туды, соответствующие тем же зна­чениям р_лт. Объясняется это тем, что эпизодиче­ские большие выбросы флуктуирующей амплитуды увеличивают вероятность об­на­ружения сигнала с малым значением q, в области же больших q провалы ин­тенсив­ности флукту­ирующего сигнала (замирания) резко замедляют рост р_по как функции q.

13. Обнаружение пачек импульсов. Отношения правдоподобия: нефлюктуирующей пачки импульсов, пачки со случайными фазами, пачки флюктуирующей по амплитуде и фазе.

Модель сигнала в виде некогерентной пачки радиоимпульсов задана выра­жением: (1)

Начальные фазы радиоимпульсов (k - чис­ло импульсов в пачке), считаем независимыми случайными величинами, каж­дая из которых равномерно распределена на интервале [ ], т.е. , . Совместная плотность вероятности совокупности незави­симых случайных величин определяется выражением (2)

По формуле косинуса суммы приводим выражение (1) к следующему виду: (3)

Условное значение корреляционного интеграла можно записать на основе выражения (3):

(4)
где интегралы взяты без конкретизации пределов и принято

Обозначив приведем выражение (4) к виду

(5)

Если пачка состоит из неперекрывающихся импульсов, то энергия пачки определяется суммой энергий импульсов. При малом изменении амплитуды и фазы в пределах импульса за время периода колебаний высокой частоты можно записать:

(6)

где энергия i -го импульса E_i не зависит от случайной начальной фазы . Используя общую формулу

(7)

и с учетом выражений (2), (5), (6) представим отношение правдоподобия в виде

На основе формулы после интегрирования следует

(8)

Выражение (8) показывает, что отношениеправдоподобия для пачки неперекрывающихся импульсов со случайными независи­мыми начальными фазами определяется произведением отношений правдоподобия для каждого импульса пачки. Вычислим отношение правдоподобия для сигналов в виде пачек флуктуирующих радиоимпульсов со случайными начальными фаза­ми. Ограничимся рассмотрением случая независимых флуктуаций, когда мо­дель сигнала имеет вид

При независимых флуктуациях случайные величины А_i, независимы и совместная плотность вероятности

Считаем случайные величины A_i в выражении (4) распределенными по закону Рэлея:

При указанных условиях, используя известную методику, получим:

(9,10)

где E_i - средняя энергия i-го импульса пачки.

После подстановки выражений для условных значений корреляционного интеграла (9) и энергии (10) в общую формулу (7) получим отношение правдоподобия в следующем виде:

Каждый из сомножителей в этом выражении может быть подвергнут преобразованию с учетом соотношения

В итоге получим выражение для отношения правдоподобия:

(11)

Формула (11) справедлива не только для случая неперекрывающихся импульсов пачки.

Дата добавления: 2015-12-08