Определения теории графов

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РОБОТОТЕХНИКИ

Отчет к курсовой работе по дисциплине

“Дискретная математика”

На тему: Задача о максимальном потоке, алгоритм Форда–Фалкерсона

Научный руководитель:

Васильева Л. И.

Выполнили:

студенты группы ПО-122

ФИРТ

Шаяхметов А.Р.

Корпухин М.В.

УФА

2007г

Задача о максимальном потоке, алгоритм Форда–Фалкерсона.

Содержание:

1. Введение......................................................................................... стр. 2

2. Теория. Основные понятия.......................................................... стр. 3

3. Постановка задачи.......................................................................... стр. 6

4. Реализация..................................................................................... стр. 8

5. Тестовый пример............................................................................ стр. 11

6. Заключение.................................................................................... стр. 12

7. Список литературы....................................................................... стр. 13

Введение

Бурное развитие дискретной математики обусловлено прогрессом компьютерной техники, необходимостью создания средств обработки и передачи информации, а также представления различных моделей на компьютерах, являющихся по своей природе конечными структурами.

Задача о максимальном потоке в сети изучается уже более 60 лет. Интерес к ней подогревается огромной практической значимостью этой проблемы. Методы решения задачи применяются на транспортных, коммуникационных, электрических сетях, при моделировании различных процессов физики и химии, в некоторых операциях над матрицами, для решения родственных задач теории графов, и даже для поиска Web-групп в WWW. Исследования данной задачи проводятся во множестве крупнейших университетов мира.

60 лет назад, задача о максимальном потоке решалась simplex методом линейного программирования, что было крайне не эффективно. Форд и Фалкресон предложили рассматривать для решения этой задачи ориентированную сеть и искать решение с помощью итерационного алгоритма. В течение 20 лет, все передовые достижения в исследовании данной задачи базировались на их методе. В 1970г. наш соотечественник, Диниц, предложил решать задачу с использованием вспомогательных бесконтурных сетей и псевдомаксимальных потоков, что намного увеличило быстродействие разрабатываемых алгоритмов. А в 1974 Карзанов улучшил метод Диница, введя такое понятие как предпоток. Алгоритмы Диница и Карзанова, как и исследования Форда и Фалкерсона, внесли огромный вклад в решение данной проблемы. На основе их методов 15 лет достигались наилучшие оценки быстродействия алгоритмов. В 1986г. появился третий метод, который также без раздумий можно отнести к фундаментальным. Этот метод был разработан Голдбергом и Таряном, и получил название Push-Relabel метода. Для нахождения максимального потока, он использует предпотоки и метки, изменяемые во время работы алгоритма. Push-Relabel алгоритмы очень эффективны, и исследуются до сих пор. И, наконец, в 1997г. Голдберг и Рао предложили алгоритм, присваивающий дугам неединичную длину. Это самый современный из всех известных мне алгоритмов.

В нашей курсовой работе, мы рассмотрим и реализуем на языке программирования C++ алгоритм решения задачи о максимальном потоке, предложенный Фордом и Фалкерсоном.

Теория и основные понятия

Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 год), хотя термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг. Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых.

С помощью графов часто упрощалось решение задач, сформулированных в различных областях знаний: в автоматике, электронике, физике, химии и др. С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло- и электросети. Помогают графы в решении математических и экономических задач.

Определения теории графов

Простым графом G называется пара (V, E), где V - непустое конечное множество, элементы которого называются вершинами графа, а E - конечное множество неупорядоченных пар различных элементов из V, элементы множества E называются ребрами.

В дальнейшем будем рассматривать только простые графы, опуская при этом слово простые.

Если (u, v) - некоторое ребро графа G, то вершины u и v называются смежными, а вершины u и ребро (u, v), также как вершина v и ребро (u, v), называются инцидентными друг другу. Степенью вершины v в графе G называется число ребер графа G, инцидентных вершине v.

	v 3	v 4
v 1		v 5
v 2	v 6

Пример графа

В данном примере
V = { v ₁, v ₂, v ₃, v ₄, v ₅, v ₆},
E = {(v ₁, v ₂), (v ₂, v ₃), (v ₁, v ₃), (v ₃, v ₄), (v ₄, v ₅), (v ₄, v ₆), (v ₅, v ₆)}

Пусть G = (V, E) - некоторый граф, u и v - его вершины. Маршрутом в графе G, соединяющим вершины u и v, называется конечная чередующаяся последовательность вершин и ребер вида v ₁, e ₁, v ₂, e ₂,..., e _k-1, v _k, где v ₁,..., v _k из V, а e ₁,..., e _k-1 из E. Маршрут называют цепью, если все его ребра различны. Цепь называют путем (или простой цепью), если все ее вершины кроме, быть может, концевых различны. Если начальная и конечная вершина пути совпадают, то его называют замкнутым путем или циклом.

Граф называется связным графом, если для любых двух его вершин существует соединяющий их маршрут.

Теперь мы можем определить особый класс графов - деревья. Деревом называется связный граф без циклов.

Ориентированным графом D называется пара (V, A), где V - непустое конечное множество, элементы которого называются вершинами графа, а A - конечное множество упорядоченных пар различных элементов из V, элементы множества A называются дугами.

Подобно графам для ориентированных графов вводятся понятие смежности вершин, понятие инцидентности и так далее.

Основанием ориентированного графа D = (V, A), называется граф G = (V, E), где E = A, то есть упорядоченные пары вершин заменяются на неупорядоченнные.

Транспортной сетью называется конечный Связный орграф G(V, E) без петель, каждой дуге которого поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число c( ), называемое пропускной способностью дуги, и существует:

1) ровно одна вершина , в которую не заходит ни одна дуга, называемая источником или началом сети;

2) ровно одна вершина , из которой не выходит ни одной дуги; эта вершина называется стоком или концом сети.

Потоком сети называется неотрицательная функция f(1) такая, что f(e) меньше или равно c(e). (Поток не может превышать пропускную способность дуги.)

Дуга называется насыщенной потоком f, если (Поток называется полным, если содержит насыщенную дугу f(e)=c(e).)

Разрезом L сети G(V,E) называется множество насыщенных дуг, отделяющих источник s от стока t.

Дата добавления: 2015-10-30