Основные определения. Матрица линейного оператора

Линейные операторы

Говорят, что в векторном пространстве L задан оператор (или преобразование) , если каждому вектору поставлен в соответствие определенный вектор .

Определение. Оператор (преобразование) называется линейным, если и произвольного числа :

1) ;

2) .

Вектор называется образом вектора , а вектор – прообразом вектора при преобразовании .

Выберем в L базис , ,..., . Тогда, если

,

то в силу линейности оператора имеем:

.

Но , ,..., также векторы из L, поэтому

Тогда

Группируя по «столбцам», получим:

.

Если , , …, – координаты вектора в том же базисе , ,..., , т.е. если

,

то, ввиду единственности разложения вектора по базису, имеем:

Таким образом, каждому линейному оператору в данном базисе , ,..., отвечает матрица

,

столбцы которой образованы коэффициентами разложения векторов , ,..., по базису , ,..., .

При этом коэффициенты разложений координат , , …, вектора по координатам вектора образуют строки матрицы A.

Верно и обратное: если в n -мерном векторном пространстве L задан базис, то каждая квадратная матрица A n -го порядка может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора.

Действительно, пусть , ,..., – базис L и пусть дана матрица A n -го порядка. Обозначим через оператор, переводящий произвольный вектор в вектор , где

Покажем, что оператор – линейный. В самом деле, произвольный вектор он переводит в вектор , где

вектор – в вектор , где

, .

Поэтому .

Далее, имеем и , где

, .

Следовательно, . А значит, оператор – линейный.

Итак, если в векторном пространстве L задан базис, то каждому линейному оператору отвечает определенная квадратная матрица n -го порядка и, обратно, каждой подобной матрице отвечает определенный линейный оператор.

Матрица A называется матрицей линейного оператора .

Замечание. Очевидно, что . При этом, если только при , то оператор называется невырожденным, если же найдется такой вектор , что , то оператор – вырожденный.

Пусть A – матрица линейного оператора . Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

Для существования ненулевого решения этой системы (а значит, для существования ненулевого вектора такого, что ) необходимо и достаточно, чтобы .

Итак, оператор – невырожденный Û , где A – матрица этого оператора в любом базисе.

Пример 1. В четырехмерном векторном пространстве дано линейное преобразование . Записать это преобразование в координатной форме, если , , , .

Решение. Матрица A линейного оператора имеет следующий вид (Записывается по столбцам!):

.

Поэтому , , , .

Пример 2. В трехмерном векторном пространстве дано линейное преобразование , которое в координатной форме имеет следующий вид:

, , .

Является ли данное линейное преобразование вырожденным?

Решение. Матрица A линейного оператора имеет следующий вид (Записывается по строкам!):

.

Поскольку , то данное линейное преобразование является невырожденным.

Пример 3. Линейное преобразование совокупности всех векторов на плоскости Oxy (в правом ортонормированном базисе , ) заключается в повороте каждого вектора против часовой стрелки на угол . Найти матрицу этого линейного преобразования и записать в координатной форме.

Решение. Напишем формулы преобразования векторов базиса , , опираясь на определение синуса и косинуса:

,

.

Тогда матрица A линейного оператора имеет следующий вид (Записывается по столбцам!):

.

Отметим, что полученную матрицу A называют матрицей поворота.

Тогда в координатной форме преобразование имеет следующий вид:

,

.

Дата добавления: 2015-10-30