Остатоточно, .

Чисельне інтегрування

1)Задача інтегрування неперервної функції легко розв'язується аналітично, якщо відома її первісна F (x). Визначений інтеграл від цієї функції може бути обчислений по формулі Ньютона - Лейбніца: , де F¢(x) =f(x).

Проте у багатьох випадках первісна F(x) не може бути виражена за допомогою елементарних функцій або є дуже складною. Тому обчислення визначеного інтеграла по формулі Ньютона-Лейбніца може бути нездійсненним або важким.

Наприклад, - інтеграл, що не береться в елементарних функціях.

Наближене обчислення інтегралів , полягає заміні визначеного інтеграла скінечною сумою , де С_k числові коефіцієнти і x_k - деякі точки, k=0, 1,…,n.

Означення 1. Наближена рівність називається квадратурною формулою. Точки xk називаються вузлами квадратурної формули. Різниця називається похибкою квадратурної формули.

Слід помітити, що в більш загальному означенні квадратурної формули в суму можуть входити не тільки значення функції, але і значення першої похідної.

Похибка залежить від функції f, відрізка інтегрування, від розташування вузлів і вибору коефіцієнтів квадратурної формули. Вузли квадратурної формули можуть належати до відрізка інтегрування, а можуть і не належати. Наближене інтегрування може бути виконане з будь-якою точністю.

Означення 2. Для зниження похибки чисельного інтегрування відрізок [а,b] розібємо на сукупність малих відрізків [xi-1,xi], таких, що. Представимо інтеграл у вигляді суми інтегралів по часткових відрізках:.

Така формула чисельного інтегрування називається складеною.

Формула трапецій

1)Замінимо функцію f(х) на відрізку [x_i-1,x_i] інтерполяційним поліномом Лагранжа першого степеня. Позначимо y_i=f(x_i), y_i-1=f(x_i-1), h= x_i-x_i-1. Інтерполяційний поліном Лагранжа першого степеня для двох точок:P₁(x)=y_i-1L₁(x)+ y_iL₂(x).

Для L₁(x)=(x-x_i)/(x_i-1-x_i)=(x_i-x)/h, L₂(x)=(x-x_i-1)/(x_i-x_i-1)=(x-x_i-1)/h.

Похибка: R(x)=(x-x_i-1)(x-x_i)*f"(t)/2, де x_i-1≤ t ≤ x_i.

Тоді f(х)=P₁(x)+R(x)= [y_i-1(x_i-x)+ y_i (x-x_i-1)]/h+f ¢¢(e)(x-x_i)(x-x_i-1)/2, де точка eÎ[x_i-1,x_i].

Обчислимо інтеграл I₁:

Обчислимо інтеграл I₂:

Остатоточно,.

Оцінимо тепер інтеграл I₃.

Припустимо, що модуль другої похідної від функції f обмежений на відрізку [а,b]: |f ²(x)|<M, при всіх х, що належать відрізку [а,b].

Тепер можна оцінити інтеграл I₃ (похибку):

| I₃|=| |/2< , де або

Отже,

Дата добавления: 2015-10-30