Определение интервалов устойчивости двойственных оценок к изменению запасов сырья

Если – оптимальный план, то справедливо равенство:

Здесь – подматрица из последней симплекс-таблицы с оптимальным решением (обратная матрица, квадратная). Столбцы этой матрицы располагаются на местах столбцов единичной матрицы первоначального базиса.

Номенклатура продукции сохранится, если . Поэтому двойственные оценки различных видов сырья, т.е. оптимальные значения , будут устойчивы к изменению запасов ресурсов (не поменяют своих значений), если выполняется условие

С учетом полученных решений последнее условие примет вид:

Получим вектор-столбец, каждая компонента которого должна быть строго больше нуля:

(*)

Рассмотрим устойчивость двойственных оценок к изменению запасов только первого вида сырья, т.е. . Получим:

Изменение запасов только второго вида сырья дает нам следующее:

Аналогично, изменение запасов только третьего вида сырья дает нам следующее:

Как и следовало ожидать, произвольное увеличение третьего вида сырья не изменит его нулевой двойственной оценки. При одновременном изменении всех видов сырья, следует поставить в (*) и проверить условие: каждая компонента вектора-столбца должна быть строго больше нуля.

Устойчивость оптимального плана на изменение стоимости продукции

Изучим вопрос: В каких пределах могут меняться значения коэффициентов целевой функции и , так чтобы оптимальный план оставался неизменным, для рассматриваемого примера и .

Допустим, значение изменяется, а значение , т.е. фиксировано. При этом вектор также изменит направление и величину. В каких пределах может меняться значение , , чтобы оптимальный план и оставался неизменным. Изменение значения приведет к такому расположению линейной формы (целевой функции ), когда линейная форма станет параллельной поочередно сначала одной из прямых, ограничивающих область допустимых решений в оптимальном плане, потом другой, т.е. значение изменим таким образом, чтобы линейная форма поочередно стала параллельной двум прямым, на пересечении которых находится оптимальный план. Из условия параллельности прямых, пропорциональности коэффициентов, имеем:

║ .

Отсюда получим: .

Проверяем параллельность линейной формы ко второй прямой, образующей оптимальное решение:

║ .

Отсюда получим: .

Таким образом, значение меняется в пределах: , а в задании . При этом значение целевой функции в оптимальной точке и меняется в пределах: , а в задании максимальное значение целевой функции .

Аналогичные результаты можно получить при изменении с учетом . В каких пределах может меняться значение , , чтобы оптимальный план и оставался неизменным. Значение изменим таким образом, чтобы линейная форма поочередно стала параллельной двум прямым, на пересечении этих прямых находится оптимальный план. Из условия параллельности прямых, пропорциональности коэффициентов, имеем:

║ .

Отсюда получим: .

Проверяем параллельность линейной формы ко второй прямой, образующей оптимальное решение:

║ .

Отсюда получим: .

Таким образом, значение меняется в пределах: , а в задании . При этом значение целевой функции в оптимальной точке и меняется в пределах: , а в задании максимальное значение целевой функции .

Дата добавления: 2015-10-26