Ранг матрицы.

Рассмотрим - матрицу

.

Определение. Минором -го порядка матрицы называется определитель -го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых строк и столбцов матрицы ().

Число миноров - го порядка -матрицы равно , где - биномиальный коэффициент.

Определение. Если у матрицы есть минор -го порядка, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю, то говорят, что ранг матрицы равен (). При этом любой минор -го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором. Ранг матрицы обозначают или .

Отметим свойства ранга матрицы.

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть нулевую строку (столбец), то ранг матрицы не меняется.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Определить ранг матрицы можно разными способами.

1. Приведение матрицы к канонической матрице.

Определение. Матрицу называют канонической, если у нее в начале главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

Ранг матрицы можно найти, если, используя элементарные преобразования, привести ее к канонической матрице. Число единиц на главной диагонали канонической матрицы равно рангу исследуемой матрицы.

Пример. Матрица

приводится к канонической матрице

.

Ранг матрицы равен двум.

2. Приведение матрицы к квазитреугольной форме.

Пример. Матрица

приводится к квазитреугольной форме

.

Минор третьего порядка этой матрицы, стоящий на пересечении первых трех строк и первых трех столбцов равен пяти. Следовательно, ранг матрицы равен трем.

3. Метод окаймляющих миноров.

Предположим, что мы нашли в исследуемой матрице минор -го порядка , который не равен нулю. Далее следует рассматривать миноры -го порядка, содержащие в себе минор , до тех пор пока не найдется ненулевой минор этого порядка. Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы равен . Если же найден ненулевой минор -го порядка , то начинается исследование миноров -го порядка, окаймляющих найденный на предыдущем шаге минор . Шаги эти повторяются до определения ранга матрицы.

Дата добавления: 2015-07-08