Отображение множеств.

СЕМИНАР 2

Отображения множеств, отношение эквивалентности, фактормножество, мощность множества.

Вводная информация

Отображение множеств.

Определение. Будем говорить, что определено отображение из множества в множество , если каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент . Синонимом слова отображение является слово функция, которое будет употребляться при рассмотрении числовых множеств. Кратко отображение из множества в множество будем записывать в виде или ().

Пример 1. - множество окружностей на плоскости с центром в начале координат. Если каждой окружности поставим в соответствие ее радиус, то мы зададим отображение .

Определение. Если задано отображение , то множество называется областью определения отображения , а - областью значения этого отображения. Если , то соответствующий ему элемент называется его образом при отображении . Совокупность всех тех элементов из , образом которых является данный элемент , носит название прообраза (точнее полного прообраза) элемента и обозначается . Например, пусть , тогда . Аналогично можно определить образ и прообраз множества. Пусть и . Тогда - образ множества , который обозначается . Если же , то прообраз этого множества - все элементы из , которые отображаются в элементы, принадлежащие множеству . Если образом всех элементов множества является единственный элемент множества , то такое отображение называется постоянным отображением.

Справедливы следующие утверждения:

1) прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов

;

2) прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов

;

3) образ суммы двух множеств равен сумме их образов

.

Замечание. В общем случае формула не верна.

Определение. Отображение есть отображение множества на множество , если . Если же , то отображение называется отображением множества в множество .

Определение. Если отображение является отображением множества намножество и для любых двух различных элементов и их образы и также различны, то отображение называется взаимно однозначным отображением между множествами и .

Пример 2. Функция является взаимно однозначным отображением .

Для каждого взаимно однозначного отображения можно определить обратное к нему отображение правилом: произвольному элементу ставится в соответствие тот элемент , для которого .

Пример 3. Для отображения , заданного правилом , обратное отображение имеет вид (или ).

Пример 4. Рассмотрим отображение вида . Обратное отображение дается формулой (или ).

Определение. Отображение , определенное правилом , называется тождественным отображением и обозначается .

Если заданы два отображения и , то можно определить композицию (или произведение) этих отображений правилом .

Пример 5. Пусть и , тогда .

Прямое и обратное отображения удовлетворяют равенствам .

Отношение эквивалентности.

Рассмотрим вопрос о разбиении множества на попарно непересекающиеся подмножества. Пусть - некоторое множество, а - декартово произведение . Выделим в некоторое подмножество . Поскольку элементы подмножества - некоторые пары , где и - элементы множества , то говорят, что выделение задает бинарное отношение в множестве . Более точно скажем, что элемент находится в отношении к элементу , если пара . В этом случае будем писать . Частным случаем бинарного отношения является отношение эквивалентности , которое удовлетворяет следующим свойствам:

1) рефлексивность: (все пары вида принадлежат подмножеству );

2) симметричность: если , то (если , то );

3) транзитивность: если и , то (если и , то и .

Отношение эквивалентности позволяет разбить множество на взаимно непересекающиеся классы, которые называются классами эквивалентности отношения .

Пример 6. . В качестве отношения эквивалентности возьмем равную удаленность точек плоскости от начала координат. Тогда классами эквивалентности будут окружности одинакового радиуса.

Множество всех классов эквивалентности отношения на множестве называется фактором множества по отношению или фактормножеством . Здесь - множество всех элементов из , находящихся в отношении с элементом .

Пример 7. В предыдущем примере фактормножество состоит из окружностей разного радиуса. Поскольку каждой окружности можно поставить в соответствие число (величину ее радиуса), то отождествляется с лучом .

Между множествами и можно задать отображение вида: каждому элементу ставится в соответствие класс , содержащий этот элемент. Такое отображение называется естественным или каноническим (иногда проекцией) и обозначается буквой .

Пример 8. В нашем примере каждая точка плоскости отображается в окружность, имеющую центр в начале координат и радиус, равный расстоянию от точки до начала координат.

Мощность множества.

Определение. Два множества и называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Так, конечные множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое числоэлементов. Множества эквивалентные множеству натуральных чисел называются счетными множествами.

Пример 8. Рассмотрим множество целых чисел и установим его счетность. Зададим, например, отображение правилом

Отображение является взаимно однозначным, следовательно, множество целых чисел – счетное множество.

Эквивалентность множеств обозначается символом . Об эквивалентных множествах говорят, что они имеют одинаковую мощность. Мощность множества обычно обозначают (или , или ). Последнее обозначение обязано другому названию мощности множества – кардинальное число или кардинал. Для конечных множеств понятие мощности множества совпадает с понятием числа элементов множества. Так, если , то множество содержит 25 элементов. Кардинальное число, приписываемое множеству натуральных чисел, обозначается символом (читается, алеф-нуль), а кардинальное число, приписываемое множеству всех вещественных чисел , обозначается через . Говорят, что это множество имеет мощность континуум. Все бесконечные множества, которые нам встретятся в курсе, будут либо счетными, либо иметь мощность континуум.

Пример счетности множества целых чисел показывает, что в случае бесконечных множеств часть множества (подмножество) может быть эквивалентна всему множеству. Более того, справедливо утверждение: всякое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству (это свойство бесконечных множеств можно взять за их определение).

При доказательствах эквивалентности бесконечных множеств важную роль играет

Теорема Кантора-Бернштейна. Пусть и - два произвольных множества. Если существуют взаимно однозначное отображение множества на подмножество и взаимно однозначное отображение множества на подмножество , то и эквивалентны (равномощны).

Мощности конечных множеств легко сравнить, поскольку в этом случае мощность множества совпадает с числом элементов. Для сравнения бесконечных множеств естественно использовать следующие варианты.

1. Множество содержит собственное подмножество, эквивалентное множеству , а аналогичного подмножества во множестве нет. В этом случае считается, что .

2. Множество содержит собственное подмножество, эквивалентное множеству , а аналогичного подмножества во множестве нет. В этом случае считается, что .

3. Множество эквивалентно некоторому подмножеству множества , а множество эквивалентно некоторому подмножеству множества . Тогда в силу теоремы Кантора-Бернштейна .

Теорема. Множество имеет мощность большую, чем мощность исходного множества .

Эта теорема показывает, что нет ограничения сверху на шкалу мощностей множеств. Мощность множества обозначается символом , где - мощность множества . В частности, .

Теорема (о квадрате). Для каждого бесконечного множества его квадрат равномощен ему самому.

Пример 9. .

ЗАДАЧИ

2.1. Доказать формулы.

а) ; б) ;

в) .

2.2. Привести примеры нарушения равенства .

2.3. Какова связь между множествами и ?

Найти области определения функций.

2.4. . 2.5. . 2.6. . 2.7. .

2.8. . 2.9. . 2.10. .

2.11 . 2.12. . 2.13. .

2.14. . 2.15. . 2.16. .

2.17. Найти образ точки и полный прообраз точки при отображении .

2.18. Найти образ подмножества и полный прообраз подмножества при отображении .

Являются ли данные отображения взаимно однозначными?

2.19. , где . 2.20. , где .

2.21. , где . 2.22. , где .

2.23. , где . 2.24. , где .

Найти обратные функции для данных функций, если они существуют.

2.25. . 2.26. . 2.27. . 2.28. . 2.29. . 2.30. .

Найти сложные функции и .

2.31. . 2.32. . 2.33. .

2.34. . 2.35. .

2.36. Рассмотрим множество действительных чисел . Будем считать, что между числами и задано отношение , если , где . Показать, что данное отношение является отношением эквивалентности. Найти фактор-множество .

2.37. Рассмотрим множество чисел . Будем считать, что между числами и задано отношение , если , где . Показать, что данное отношение является отношением эквивалентности. Найти фактор-множество .

2.38. Рассмотрим множество . Будем считать, что между точками рассматриваемой плоскости задано отношение , если их координаты удовлетворяют уравнению , где . Показать, что данное отношение является отношением эквивалентности. Найти фактор-множество .

2.39. Показать, что эквивалентность множеств является отношением эквивалентности. Что представляют собой классы эквивалентности?

2.40. Доказать формулу , где - мощность конечного

множества

Дата добавления: 2015-07-08