Понятие множества.

СЕМИНАР 1

Множества, подмножества, операции над множествами, принцип двойственности, формулы де Моргана, декартово произведение множеств, экспонента множества.

Вводная информация

Понятие множества.

Понятие множества относится к числу первоначальных математических понятий. Его невозможно определить, не заменив его каким-либо синонимом: совокупность, набор, собрание элементов и т. д. Основателю теории множеств, Георгию Кантору, принадлежит следующее высказывание: «Под «множеством» мы будем понимать соединение в некоторое целое определенных хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества )». Понятие множества обычно поясняется только при помощи примеров. Например,

1) множество преподавателей, работающих на кафедре АЭС в текущем учебном году;

2) множество многочленов третьей степени , где - вещественные числа;

3) множество всех окружностей с центром в начале координат.

Множества обозначаются прописными буквами , а их элементы – малыми буквами . Утверждение «элемент принадлежит множеству » записывают кратко в виде (здесь - символ принадлежности). Запись обозначает обратное утверждение: элемент не принадлежит множеству .

Отметим некоторые способы задания множеств.

1. Задание множества списком его элементов.

Пример 1. .

2. Задание множества с помощью порождающей процедуры (индуктивное правило).

Пример 2. .

3. Задание множества по некоторому признаку (характеристическому свойству).

Пример 3. - студенты первого курса ИГЭУ, обучающиеся на специальности «Атомные станции: проектирование, эксплуатация и инжиниринг».

В этом случае часто пишут или кратко . Например, .

Утверждение, обладает свойством , называется характеристическим предикатом. В общем случае предикатом в математической логике называют утверждение, имеющее форму высказывания, на самом деле таковым не являющееся, так как содержит переменные, конкретные значения которых не указаны. Поскольку такое утверждение при одних значениях переменных может быть истинным, а при других – ложным, ему не может быть приписано истинное значение. Высказыванием же называется утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры высказываний: 1) куб целого числа – целое число, 2) 17 марта – международный женский день.

Примеры утверждений, не являющихся высказываниями: 1) прошу подготовиться к контрольной работе, 2) будь счастлив.

Примеры предикатов: 1) (одноместный предикат), 2) (двуместный предикат).

Введем некоторые символы, позволяющие сократить записи высказываний:

1) - квантор всеобщности ( - для любого вещественного числа его квадрат равен неотрицательному числу (истинное высказывание));

2) - квантор существования ( - существует число , синус которого равен нулю (истинное высказывание));

3) - импликация (логический союз если…, то… или иное прочтение … является достаточным условием для …, например, ;

4) - эквиваленция (логический союз тогда и только тогда…, когда или иное прочтение если и только если…, то…, например, .

Замечание. Следует быть очень внимательным при определении истинности или ложности того или иного высказывания. Например, высказывание (для всягого числа существует число такое, что их сумма положительна) является истинным, а высказывание (существует число такое, что егосумма с любым числом положительна) – ложно.

В данном курсе будут рассматриваться множества с различной математической структурой. Отметим пока лишь принятые обозначения ряда числовых множеств:

1) - множество натуральных чисел;

2) - множество целых чисел;

3) - множество рациональных чисел ( - любое целое число, - любое натуральное число);

4) - множество действительных (вещественных) чисел;

5) - множество комплексных чисел;

6) - отрезок (сегмент) (множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам );

7) - интервал (множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам );

8) , - полуинтервал (полусегмент) (множества всех вещественных чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам , );

9) - полупрямые (лучи) (множества всех вещественных чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам , , , ). Заметим, что полупрямую часто обозначают .

Определение. Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Говорят также, что множество содержится в множестве , или включено в , или включает . Будем в этом случае писать . Символ - символ включения.

Определение. Два множества назовем равными (или одинаковыми), если они состоят из одних и те же элементов. В этом случае будем писать .

Определение. Если множество состоит из конечного числа элементов, то такое множество называется конечным.

Предполагается, что существует множество, не содержащее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством и обозначается символом .

Пример 4. -множество действительных корней уравнения .

Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Определение. Пустое множество и само множество называются несобственными подмножествами множества . Другие подмножества множества называются его собственными подмножествами. Для них используется символ строгого включения .

Пример. .

Определение. Множество, состоящее из одного элемента , называется одноточечным множеством. Следовательно, .

Определение. Универсальным множеством (или универсумом) называется фиксированное в рамках данной математической теории множество, содержащее, в качестве своих подмножеств, все множества, рассматриваемые в этой теории.

Определение. Пусть и - два множества. Декартовым произведением этих множеств называют множество всех упорядоченных пар , где

.

Пример 5. - корни уравнения , - корни уравнения . Тогда .

Аналогично определяется декартово произведение трех и более множеств. Например,

.

Определение. Экспонентой множества называется множество всех его подмножеств.

Пример 6. .

Заметим, что .

Операции над множествами.

Рассмотрим основные операции над множествами.

Определение. Пусть и - произвольные множества. Их объединением (или их суммой) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Пример 7. .

Определение. Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих как , так и .

Пример 8. .

Введенные операции удовлетворяют следующим свойствам:

1) свойство коммутативности

;

2) свойство ассоциативности

;

3) свойство взаимной дистрибутивности

.

Определение. Разностью множеств и называется множество всех элементов из множества , которые не принадлежат множеству . Такое множество обозначается через .

Определение. Симметрической разностью множеств и называется множество .

Определение. Дополнением множества в множестве называется множество .

В теории множеств и ее приложениях важную роль играет принцип двойственности, состоящий в том, что из любого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированного множества , совершенно автоматически может быть получено другое – двойственное ему равенство путем замены всех рассматриваемых множеств их дополнениями, сумм множеств – пересечениями, а пересечений – суммами. В основе этого принципа лежат два соотношения (формулы де Моргана):

1) дополнение суммы равно пересечению дополнений

;

2) дополнение пересечений равно сумме дополнений

.

Для двух множеств формулы де Моргана, которые иногда называют законами, имеют вид

1) ; 2) .

Определение. Множество подмножеств некоторого множества образует покрытие множества , если . Покрытие множества называется его разбиением, если .

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08