Преобразования декартовой системы координат.

СЕМИНАР 10

Уравнения прямых, расположение прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой.

Вводная информация

Преобразования декартовой системы координат.

1. Параллельный перенос осей координат.

Под параллельным переносом осей координат понимают перенос начала координат с сохранением направления осей координат и масштаба. Пусть некоторая точка в старой системе координат определена координатами , а - координаты центра новой системы координат. Тогда координаты той же самой точки в новой системе координат задаются числами

Часто такое преобразование координат называют сдвигом.

2. Поворот координатных осей.

При таком преобразовании декартовой системы координат начало координат остается прежним, но меняется направление осей координат путем поворота их на некоторый угол относительно оси, проходящей через начало координат перпендикулярно координатной плоскости. Пусть координатные оси поворачиваются против часовой стрелки на угол , тогда новые координаты точки имеют вид

Матрица

называется матрицей поворота. Эта матрица является ортогональной , и обратная к ней матрица

задает поворот координатных осей на угол . Следовательно,

3. Сдвиг и поворот координатных осей.

Такое последовательное преобразование декартовой системы координат выражается формулами

Расстояние между двумя точками и деление отрезка в заданном отношении.

1. Расстояние между двумя точками.

Пусть заданы две точки и . Расстояние между этими двумя точками в декартовой системе координат дается выражением

.

2. Деление отрезка в заданном отношении.

Рассмотрим отрезок , соединяющий точки и . Тогда координаты точки , делящей отрезок в отношении , равны

В частности, в случае имеем

Площадь треугольника.

Рассмотрим три точки , и , являющиеся вершинами треугольника . Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле

(при получении отрицательного числа следует взять его модуль). Если площадь треугольника равна нулю, то имеем

.

Следовательно, координаты точек, лежащих на одной прямой, должны удовлетворять соотношению

.

Полярная система координат.

В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется двумя числами: - расстоянием между точкой и началом координат (полярным радиусом) и углом между осью и радиус-вектором рассматриваемой точки (полярным углом). Формулы преобразования координат имеют вид

Различные виды прямой линии на плоскости.

1. Общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид

,

где и - постоянные величины, причем . Рассмотрим частные случаи.

1) - уравнение прямой, параллельной оси или совпадающей с ней ();

2) - уравнение прямой, параллельной оси или совпадающей с ней ();

3) - уравнение прямой, проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент .

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Это уравнение прямой линии легко получить из общего уравнения прямой, выражая через

.

Здесь - угловой коэффициент прямой, он равен тангенсу угла между прямой и осью ().

3. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, заданном угловым коэффициентом .

Возьмем точку на прямой с координатами , тогда . Из этого соотношения легко найти уравнение рассматриваемой прямой

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и .

Поскольку в этом случае , из предыдущего уравнения получаем

или

.

5. Уравнение прямой в отрезках.

Если прямая отсекает на координатных осях отрезки длиной и (от начала координат), то ее уравнение имеет вид

.

6. Нормальное уравнение прямой.

Пусть прямая находится на расстоянии от начала координат и перпендикуляр, опущенный на прямую из начала координат образует угол с осью . Уравнение такой прямой можно записать в виде

.

7. Уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Возьмем точку на прямой запишем условие перпендикулярности векторов и

.

Это и есть уравнение рассматриваемой прямой. Сравнивая это уравнение с общим уравнением прямой , видим, что коэффициенты и равны координатам вектора , перпендикулярного к прямой.

8. Уравнение прямой в полярной системе координат (полярное уравнение прямой).

Пусть точка на прямой имеет полярные координаты , тогда уравнение прямой имеет вид

,

где и - параметры из нормального уравнения прямой.

Расположение прямых на плоскости и расстояние от точки до прямой.

1. Пересечение прямых.

Рассмотрим две прямые

Выделяются три случая:

А) и - прямые совпадают;

B) либо - прямые не пересекаются (параллельные прямые);

С) - прямые пересекаются в точке .

Угол между прямыми можно найти из соотношения

,

где - угловые коэффициенты прямых.

Рассмотрим частные случаи:

А) или - условие параллельности прямых;

В) или - условие перпендикулярности прямых.

2. Расстояние от точки до прямой .

Это расстояние дается формулой

.

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08