Диффренциалдық теңдеулер жүйесін шешу. Рунге-Кутта әдісі.

Тақырып Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері. Диффренциалдық теңдеулер жүйесін шешу. Рунге-Кутта әдісі.

Физикадағы ең маңызды және көп тараған есептердің бірі әртүрлі қозғалыс теңдеулері. Олардың қарапайымдары алғашқы шартпен берілген бір немесе бірнеше диффренциалдық теңдеулерді шешуді қажет етеді. Бірақ көп жағдайда бұндай теңдеулерді аналитикалық шешу мүмкін болмайды, сондықтан Коши есебін шешуге негізделген сандық әдістерді қолданнамыз. Сонымен қатар бұл әдістердің көмегімен шамалары уақытқа байланысты өзгеретін динамикалық есептерді шешуге болады.

Эйлер әдісі. Осындай айрымдық әдістің бірі Эйлер әдісі болып табылады. Мысал ретінде (1.2) алғашқы шартпен бірінші ретті диффренциалдық теңдеуді (1.1) шешуді қарастырамыз:

(1.1)

(1.2)

Бұл есептің шешімі айырымдық әдіс бойынша тордық функция түрінде, яғни кесте түрінде ізделінеді, мұндағы - тәуелсіз айнымалысының көптік мәндері (олар түйін деп аталады), - түйіндегі -тің дәл шешімін аппроксимациялайтын мән. Түйіндерді тең қатарлы орналасқан деп есептесек, яғни , -қадам деп аталады, ол тұрақты шама болып табылады. Енді (1.1), (1.2) есебі тордық функцияны анықтайтын есепке келеді:

(1.3)

(1.4)

(1.3) туындысын шеткі-айырымдық өрнекпен алмастырамыз:

(1.5)

Осыған байланысты үшін келесі есептеу формуласын аламыз:

. (1.6)

Дәлірек Эйлер әдісі. Әдісті қарастыру үшін функциясын Тейлор қатарына жіктейміз:

(1.7)

Енді екінші ретті туындыны шеткі-айырымдық әдіс бойынша жазамыз:

. (1.8)

(1.8)-ші өрнекті (1.7)-ге қоя отырып келесі өрнекті аламыз:

. (1.9)

Туындыларды келесі өрнектермен алмастырамыз

. (1.10)

Мұндағы -(1.6) формула бойынша анықталады.

Бұл әдістерден басқа диффренциалдық теңдеуді шешетін Рунге-Кутта әдісі бар.

Диффренциалдық теңдеулер жүйесін шешу. Рунге-Кутта әдісі.

Алғашқы шартпен берілген диффренциалдық теңдеулерді шешу үшін Эйлер әдістерінен басқа да бір қадамды әдістер бар. Мысал ретінде екі теңдеуден тұратын диффренциалды теңдеулер жүйесін қарастырамыз:

(2.1)

Рунге-Кутта әдісі Эйлер әдістеріне қарағанда дәлірек әдіс болып саналады. Есептеу үлгісі келесі түрде болады:

(2.2)

мұндағы

Егер жүйе бірнеше теңдеуден тұрса, онда мен сияқты сонша коэффиценттер қажет. Айта кететін жағдай, жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер үшін Коши есебін бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге келтіруге болады.

Өзін-өзі тексеру сұрақтары:

1. Диффренциалдық теңдеулерді шешудің бір және көп қадамды әдістері.

2. Дәлірек Эйлер әдісі.

3. Эйлер және дәлірек Эйлер әдістерінің қателіктері.

4. Эйлер әдісінің геометриялық түсіндірмесі.

5. Рунге-Кутта әдісі.

Дата добавления: 2015-07-08