Направлено всегда к центру кривизны траектории.

При равномерном движении точки по окружности , но вектор изменяется, так как направление векторов в разных точках окружности разные.

2.Степень искривления плоской кривой характеризуется кривизной С, которая определяется выражением

где –угол между касательными к кривой в точках, отстоящих друг от друга на расстояние (рис.1.7).

Таким образом, кривизна определяет скорость поворота касательной при перемещении вдоль кривой.

Величина, обратная кривизне С, называется радиусом кривизны в данной точке

Радиус кривизны представляет собой радиус окружности, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке.

Центр такой окружности называется центром кривизны для данной точки кривой.

Радиус и центр кривизны в точке 1 (рис.1.7) определим следующим образом.

- Возьмем вблизи точки 1 точку 1¢.

- Построим в этих точках касательные и , перпендикуляры к которым пересекутся в некоторой точке О ¢. При этом для кривой, не являющейся окружностью, расстояния ¢ и ¢¢ несколько отличаются друг от друга.

- Если точку 1¢ приближать к точке 1, пересечение перпендикуляров O ¢ будет перемещаться вдоль прямой ¢ и в пределе окажется в некоторой точке О. Эта точка и будет центром кривизны для точки 1.

- Расстояния R ¢ и R ¢¢ будут стремиться к общему пределу , равному радиусу кривизны.

Как известно из математики, (1.7)

Здесь – орт нормали к траектории, направленный в сторону поворота вектора при движении частицы по траектории.

Величину можно связать с радиусом кривизны траектории и скоростью частицы .

Из рис. 1.7 следует, что

где - угол поворота вектора за время (совпадающий с углом между перпендикулярами ¢ и ¢¢),

- средняя скорость на пути .

Отсюда .

В пределе при ® 0 приближенное равенство станет строгим, средняя скорость превратится в мгновенную скорость в точке 1, ¢- в радиус кривизны .

В результате получится равенство (1.8)

- быстрота поворота вектора скорости пропорциональна кривизне траектории и скорости перемещения частицы по траектории.

Подставив (1.7) в формулу (1.8), получим ,

тогда нормальное ускорение равно .

4. При движении материальной точки по плоской кривой:

Вектор ускорения равен , а его модуль

При криволинейном движении точки вектор её ускорения всегда отклонен от касательной к траектории в сторону ее вогнутости.

При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует.

Интересным является тот факт, что

- обращается в ноль в точке перегиба криволинейной траектории (точка ТП на рис.1.8).

- По обе стороны от этой точки векторы направлены в разные стороны.

- вектор не может изменяться скачком, изменение направления на противоположное происходит плавно с обращением в ноль в точке перегиба.

· Если материальная точка движется с постоянными по величине скоростью и ускорением, то , так что и , поэтому – частица движется по линии постоянной кривизны, т.е. по окружности.

Дата добавления: 2015-07-08