Типы неравенств и способы их решения

Всюду далее f (x), g (x), h (x) – некоторые выражения с переменной.

I тип: неравенство вида

(6.16)

где a > 0.

1. Если 0 < a < 1, то неравенство (6.16) равносильно системе

(6.17)

2. Если a > 1, то неравенство (6.16) равносильно системе

Заметим, что в этом случае первое неравенство системы (6.17) можно не решать, так как во втором неравенстве

(6.18)

Решение неравенства (6.18) сводится к решению совокупности двух систем:

Неравенство f (x) > 0 во второй системе можно не решать, так как оно справедливо при выполнении двух других неравенств этой системы.

II тип: неравенство вида

(6.19)

1. Если 0 < a < 1, то неравенство (6.19) равносильно системе

(6.20)

Неравенство g (x) > 0 в системе (6.20) можно не решать, так как оно выполняется при условии выполнения двух других неравенств этой системы.

2. Если то неравенство (6.19) равносильно системе

(6.21)

Неравенство в системе (6.21) можно не решать.

(6.22)

Поскольку в основании содержится переменная величина, то в общем случае решение неравенства (6.22) зависит от величины основания по сравнению с числом 1. Поэтому решаем совокупность двух систем:

III тип: неравенство вида

(6.23)

где F – некоторое выражение относительно

Необходимо заменить и решить неравенство F (y) > 0. Полученные в качестве решения последнего неравенства промежутки записывают в виде неравенств относительно y, а затем возвращаются к старой переменной.

Аналогично решают неравенства I – III типов, в которых вместо знака > использованы знаки ³, <, £.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Имеем неравенство I типа. Так как основание логарифма меньше числа 1, то решение неравенства сводится к решению системы

Используем далее метод интервалов (рис. 6.13).

Рис. 6.13

Получаем ответ:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство относится к I типу. Поэтому решаем совокупность двух систем

Первая система решений не имеет. Решаем вторую систему

Второе неравенство этой системы не решаем, так как оно справедливо, если выполняется последнее неравенство. Получаем:

Используем метод интервалов (рис. 6.14).

Рис. 6.14

Получаем ответ:

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Это неравенство II типа, причем основание логарифма больше числа 1. Поэтому решаем систему

Получаем

Подводя итог, приходим к ответу:

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Имеем неравенство III типа.

Заменяем и решаем кубическое неравенство

Разлагаем левую часть неравенства на множители:

Используем далее метод интервалов (рис. 6.15).

Рис. 6.15

Получили решение Записываем его в виде:

Возвращаемся к неизвестной x и с учетом ОДЗ заданного неравенства имеем:

Получаем ответ:

Дата добавления: 2015-07-08