Ортогональная матрица. Ортогональный оператор.

Вещественная матрица называется ортогональной, если ее транспонированная матрица совпадает с обратной к ней :

, т.е. .

Свойства ортогональной матрицы:

1. Строки (столбцы) ортогональной матрицы попарно ортогональны.

2. Сумма квадратов элементов каждой строки (столбца) ортогональной матрицы равна 1:

; .

3. Определитель ортогональной матрицы равен .

4. Матрица, транспонированная (обратная) к ортогональной матрице также ортогональна.

Ортогональный оператор и его свойства:

В эвклидовом пространстве оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе ортогональна, называется ортогональным. Ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу в любом ортонормированном базисе.

Свойства:

1. Ортогональный оператор переводит любой ортонормированный базис в новый ортонормированный базис.

2. Ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение векторов (В действительности это свойство обычно берут за определение ортогонального оператора):

3. Ортогональный оператор не меняет длины вектора, т.е. является изометрическим оператором.

4. Ортогональный оператор не изменяет углы между векторами. Поэтому говорят, что ортогональный оператор не меняет метрику пространства.

В обычном 3-х мерном эвклидовом пространстве ортогональным является оператор параллельного переноса и поворота на некоторый угол вокруг некоторой оси.

Линейное преобразование координат, осуществляемое ортогональным оператором , называется ортогональным:

; ; .

10.4. Вид квадратичной формы в ортонормированном базисе из собственных
векторов.

Рассмотрим вещественную симметричную квадратичную форму

.

Введем в рассмотрение -мерное вещественное арифметическое пространство с вектором

,

Представленном в базисе :

; ; ;…;

и скалярным произведением .

Базис , как легко видеть, ортонормированный: .

Симметричная матрица соответствует самосопряженному оператору , который, действуя на вектор , переводит его в новый вектор вида : .

Поэтому и

.

При этом квадратичную форму можно представить в виде:

.

Оператор – самосопряженный. Для него всегда есть ортонормированный базис из его собственных векторов. Обозначим этот базис как: , ,…, ; . Соответствующие этим собственным векторам собственные значения обозначим как: , ,…, : . Среди них могут быть равные.

Перейдем от старого базиса к этому новому базису с помощью оператора перехода : .

. (10.1)

Координаты вектора образуют -й столбец матрицы перехода .

В новом базисе .

.

Тогда квадратичная форма в новом базисе примет вид:

.

. (10.2)

Дата добавления: 2015-07-08