Квадратичные формы.

Лекция 10. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ В ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

10.1. Квадратичные формы.

10.2. Самосопряженный оператор.

10.3. Ортогональная матрица. Ортогональный оператор.

10.4. Вид квадратичной формы в ортонормированном базисе из собственных векторов.

10.5. Формулы, связывающие старые и новые переменные.

10.6. Дополнительные замечания. Пример.

Квадратичные формы.

Квадратичной формой от переменных , , …, называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из этих переменных или произведением двух разных переменных с некоторыми коеффициентами , которые называются коеффициентами формы:

.

Квадратичная форма – однородный многочлен 2 степени от переменных.

Будем рассматривать только вещественные квадратичные формы.

Из коеффициентов квадратичной формы можно составить квадратную матрицу:

.

Ее называют матрицей данной квадратичной формы.

Обычно предполагают, что квадратичная форма имеет симметричный вид: , т.е. матрица совпадает со своей транспонированной матрицей .

Если это не так, квадратичную форму всегда можно симметризовать:

.

Очевидно, что .

Особый интерес представляют совершенно просто устроенные квадратичные формы, в которых отсутствуют смешанные члены, т.е. коеффициенты . Такие квадратичные формы называются диагональными: .

В этом случае матрица квадратичной формы также диагональна:

.

Про диагональную квадратичную форму говорят, что она имеет канонический вид.

Оказывается, что путем подходящего преобразования переменных квадратичную форму всегда можно привести к каноническому виду.

Необходимость в приведении квадратичной формы к каноническому виду возникает в различных приложениях линейной алгебры, в аналитической геометрии при приведении кривых и поверхностей 2-го порядка к каноническому виду.

Рассматриваемая задача, как нетрудно видеть, равносильна приведению матрицы к диагональному виду. Ранее было показано, что это возможно, если соответствующий оператор имеет линейно независимых собственных векторов.

Матрица, обладающая свойством симметрии , называется ортогональной, а соответствующий ей оператор – ортогональным.

Можно показать, что для ортогонального оператора в -мерном эвклидовом пространстве всегда существует ортогональный базис из собственных векторов этого оператора. При этом соответствующую матрицу всегда можно привести к диагональному виду, а квадратичную форму – к каноническому виду.

Дата добавления: 2015-07-08