Кинематика. 1. 1. Кинематика материальной точки

1.1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Движение можно условно представить как последовательность положений, зафиксированных через бесконечно малые интервалы времени. Следовательно, описание движения есть описание всех этих последовательных положений, т.е. получение математического выражения, позволяющего вычислить конкретное положение материальной точки в любой момент времени.

Как положение, так и движение материальной точки, в данной системе отсчёта может быть описано различными способами.

1.1.1. ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ

С помощью этого способа положение материальной точки определяется вектором, начинающимся в начале отсчёта и заканчивающимся там, где находится материальная точка.

Такие векторы принято называть радиус-векторами.

Начало отсчёта - это точка, связанная с телом отсчёта. Её выбирают так, чтобы было удобнее производить расчеты. Например, если необходимо узнать, какое расстояние пролетит камень, разумно в качестве начала отсчёта выбрать точку, в которой камень находился в момент броска.

Векторный способ описания движения предполагает получение уравнения r = r (t), где r - радиус-вектор, показывающий положение материальной точки в момент t, r (t) - выражение, позволяющее рассчитать мгновенное значение r.

1.1.2. КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ

Как уже отмечалось, положение любой точки в пространстве определяется совокупностью трёх величин· - координат. В декартовой системе координат это величины х, у, z.

Координаты и радиус-вектор связаны между собой: если начало отсчёта и начало координат совпадают, то координаты материальной точки в то же время есть проекции радиуса-вектора, определяющего её положение, на оси координат (см. рисунок). В аналитической форме эта связь имеет такой вид:

r = i x + j y + k z;

в данном выражении i, j и k - единичные векторы, направленные параллельно осям x, y и z соответственно.

Координатный метод описания движения предполагает получение уравнений x=x (t), y=y (t)и т.д., где х, у -мгновенные значения координат точки в момент t, x (t), y(t) - выражения, позволяющие рассчитать мгновенные значения х и у.

1.1.3.ЕСТЕСТВЕННЫЙСПОСОБ

Если известны траектория и направление движения материальной точки, удобно определять её положение естественным способом. Для этого используется скалярная величина s (естественная координата). Это длина отрезка траектории от начала отсчёта О до материальной точки.

Естественный способ позволяет описать движение уравнением s=s (t), где s – естественная координата материальной точки к моменту t; s (t)- выражение, позволяющее рассчитать значение s в момент t.

1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИДВИЖЕНИЯ

Для описания движения прежде всего необходима количественная мера изменения положения. Такой мерой является перемещение.

Перемещение - это вектор, соединяющий начальное и конечное положения материальной точки в пространстве и равный

D r = r (t +D t) - r (t).

В декартовых координатах перемещение можно выразить как

D r = i D x + j D y + k D z.

Перемещение за бесконечно малый интервал време­ни dt обозначают d r. Направление этого вектора совпадает по направлению с касательной к траектории.

Имеет значение не только то, насколько далеко переместилась точка, но и то, как быстро произошло это перемещение. Поэтому необходима количественная мера быстроты изменения положения. Эта величина называется скоростью.

Средняя скорость равна отношению перемещения Δ r, совершённого телом за время Δ t, ко времени Δ t

.

Например, автомобиль проехал по прямой дороге 60км за один час. Следовательно, его средняя скорость 60 км/час. Однако в процессе движения скорость, показываемая спидометром, в разные моменты времени будет разной, она может быть и больше - 60 км/час, и меньше. Объясняется это тем, что спидометр показывает не среднюю скорость, а мгновенную.

Мгновенная скорость равна пределу отношения перемещения d r ко времени dt, за которое произошло перемещение, при dt стремящемся к нулю:

.

Другими словами - мгновенная скорость - это векторная величина, равная производной от радиуса-вектора по времени. Вектор скорости направлен по вектору d r, т.е. вдоль касательной к траектории.

В декартовых координатах скорость выражается как

или

где v_x, v_y, v_z - проекции вектора скорости на оси х, у, z.

Мгновенную скорость можно выразить и так:

где v - модуль вектора мгновенной скорости, τ - единичный вектор, направленный по касательной к траектории.

Таким образом, вектор скорости равен произведению единичного вектора τ на модуль скорости.

Скорость может изменяться с течением времени. Поэтому необходима количественная мера быстроты изменения скорости. Такая характеристика называется ускорением.

Ускорение - это векторная величина, равная производной от скорости по времени,

или

.

Вектор ускорения направлен, как это видно из определения, по вектору d v, т.е. по вектору приращения скорости. Размерность ускорения [ а ] = м/с ². Используя естественный способ описания движения, можно записать

Из полученного выражения следует, что ускорение можно представить в виде суммы двух компонент.

Компонента представляет собой производную модуля скорости по времени, умноженную на единичный вектор τ. Производная модуля скорости по времени показывает, как быстро он изменяется с течением времени. Следовательно, эта компонента ускорения показывает, как быстро изменяется модуль скорости. Направлена эта компонента по вектору τ, т.е. по касательной к траектории, и называется тангенциальным ускорением а _τ.

Для того чтобы выяснить физический смысл компоненты , рассмотрим рисунок·. На нём изображён фрагмент траектории материальной точки.

Пусть траектория представляет собой дугу окружности радиуса R.

За время Δ t материальная точка совершила перемещение Δ r. Пусть при этом скорость изменила только направление, а её модуль остался неизменным.

Переместим вектор конечной скорости v ₂ параллельно самому себе так, чтобы совместить начала векторов начальной и конечной скорости.

Треугольники, образованные векторами скорости v ₁ v ₂ и Δ v, радиусами дуги R и вектором перемещения Δ r, равнобедренные и имеют одинаковые углы при вершине.

Треугольник, образованный единичными векторами, имеет такой же угол при вершине, поскольку направления единичных векторов совпадают с направлениями векторов скоростей.

Считая угол α малым, можем записать . Из этого выражения получаем (здесь учтено, что модуль единичного вектора τ равен l). Разделим последнее выражение на Δ t и перейдём к его пределу:

.

Таким образом, производная равна отношению модуля скорости к радиусу кривизны траектории. Направление производной совпадает с направлением вектора d τ, который, как видно из рисунка, при Δ t ®0 и соответственно a®0 становится перпендикулярным к касательной к траектории.

Следовательно, компонента ускорения (здесь п - единичный вектор, перпендикулярный касательной к траектории). Эта компонента показывает, как быстро изменяется направление скорости, и называется нормальным ускорением а _n, (его также называют центростремительным ускорением).

Окончательно выражение для ускорения тела, движущегося по криволинейной траектории, можно записать в виде

Модуль полного ускорения связан с модулями нормального и тангенциального ускорений так:

.

1.3. КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

Движение тел·, размерами которых пренебречь нельзя, в общем случае может быть достаточно сложным. Задача описания такого движения становится проще, если представить сложное движение как суперпозицию поступательного и вращательного движений.

Поступательным движением называется такое движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям. Можно дать и иное определение: поступательным называют такое движение, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, в процессе движения остаётся параллельной самой себе.

Вращательным движением относительно неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой - оси вращения.

1.4. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Пусть твёрдое тело за время dt совершило бесконечно малый поворот на угол d jотносительно неподвижной в данной системе отсчёта оси. Понятно, что тело может совершить поворот либо по часовой, либо против часовой стрелки. Это значит, что угол d jдолжен характеризоваться не только величиной, но и направлением. Следовательно, d j - вектор. Модуль вектора d j равен углу поворота тела d j. Направление вектора d j определяют с помощью правила правого винта.

Правило правого винта формулируется так: если правый винт вращать в направлении вращения тела, то направление поступательного движения винта покажет направление вектора d j.

Векторы, направление которых вводится подобным образом, не являются истинными векторами. Это псевдовекторы. Строгое наименование подобных векторов - аксиальные векторы. Отличие аксиального вектора от истинного вектора прежде всего заключается в том, что направление истинных векторов вводить не нужно - оно естественным образом вытекает из их природы (вектор перемещения, скорости и т.д.), а для аксиальных векторов вводится искусственно, с помощью правила правого винта.

Обратите внимание на очень важную особенность вращательного движения. Поскольку расстояние между различными точками абсолютно твёрдого тела не изменяется, все точки за время dt поворачиваются на один и тот же угол d j.

Линейное перемещение d r точки, находящейся на расстоянии r от оси вращения, равно d j. r (это видно из рисунка). Это означает, что линейное перемещение точек, расположенных на разных расстояниях от оси вращения, различно (при одном и том же угловом перемещении d j. В векторной форме это соотношение имеет вид·

d r =[ d j, r ].

В правильности выбора операции, связывающей величины d r, d j и r, легко убедиться. Из векторной алгебры известно, что вектор с, равный векторному произведению векторов а и b (с = [ а, b ])направлен в соответствии с правилом правого винта для векторного произведения: если правый винт, ось которого перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы а и b, вращать от вектора записанного в произведении первым, к вектору записанному вторым, в сторону наименьшего угла, то направление поступательного движения винта покажет направление вектора с. В рассматриваемой ситуации (см. рисунок) винт следует вращать от вектора d j к вектору r по часовой стрелке. Направление поступательного движения винта совпадёт с направлением вектора d r. Это и подтверждает правомерность выбора операции, связывающей векторы d r, d j и r.

Как и в поступательном, во вращательном движении используется характеристика быстроты изменения положения - угловая скорость w. По определению угловая скорость равна

w = d j / dt.

Из определения следует, что направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора d j.

Обратите внимание: поскольку все точки вращающегося твёрдого тела за время dt поворачиваются на один и тот же угол d j, угловая скорость всех точек тела одинакова.

Во вращательном движении используется и характеристика быстроты изменения скорости - угловое ускорение e. По определению угловое ускорение равно

e = d w / dt.

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора d w, т.е. вектора приращения угловой скорости (обратите внимание: угловое ускорение совпадает по направлению не с угловой скоростью, а с её приращением).

1.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ДВИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

Угловые (d j, w, e) и линейные (d r, v, a) характеристики движения вращающегося тела связаны между собой.

Связь между линейным и угловым перемещениями уже найдена:

d r =[ d j, r ].

Разделим это выражение на dt:

.

Поскольку по определению d r /dt= v, a d j /dt= w, полученное выражение связывает между собой линейную скорость точки v с её угловой скоростью w:

v =[ w, r ].

Таким образом линейная скорость точки тела, вращающегося с угловой скоростью w относительно неподвижной оси, равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор r, определяющий положение точки относительно оси вращения. Обратите внимание: линейная скорость разных точек твёрдого тела различна. Чем дальше от оси вращения расположена точка, тем выше её линейная скорость.

Возьмём производную от последнего выражения по времени:

Величина d v /dt по определению есть полное ускорение точки a, d w /dt - угловое ускорение e, a dr/dt - линейная скорость. Поэтому полученное выражение мы можем переписать в виде

a =[ e, r ]+[ w, v ].

Можно показать, что в случае вращения относительно неподвижной оси [ e, r ] есть тангенциальное ускорение а _тa [ w, v ] -нормальное ускорение а _n. Модули компонентов полного ускорения равны

а _t=e R,

а _n=w v =ww R =w² R = v ²/ R.

Модуль полного ускорения

.

1.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ

Движение одного и того же тела можно наблюдать, находясь в разных системах отсчёта. Например, один наблюдатель может стоять на земле, а вто­рой равномерно и прямолинейно будет двигаться на автомобиле. Если каждый из наблюдателей измерит кинематические характеристики движения одного и того же тела, то результаты измерения будут разными. Очевидно, что если из­мерять скорость предмета, движущегося вместе с автомобилем, то у стоящего на земле наблюдателя измеренная скорость будет равна скорости автомобиля, а для сидящего в машине скорость предмета будет равна нулю. Но это скорости одного и того же тела, поэтому результаты измерений связаны между собой. Как именно они связаны, показывают преобразования Галилея.

Рассмотрим преобразования Галилея применительно к одной, простей­шей ситуации, а именно прямолинейному движению одной системы отсчёта относительно другой.

Итак, пусть имеются две системы отсчёта - К и К', движущиеся друг от­носительно друга, причём пусть К движется вдоль оси х (см. рисунок). Эти системы отсчёта отвечают следующим условиям:

1) в момент t=t'=0 начала координат систем отсчёта совпадали (t = t ', так как Галилей полагал, что время во всех системах отсчёта течёт одинаково);

2) скорость v ₀ и ускорение а ₀ начала координат движущейся системы отсчёта К' относительно системы отсчёта К известны;

3) координаты, скорость и ускорение некоторой точки А относительно начала координат неподвижной системы отсчёта К известны.

Необходимо связать координаты, скорость и ускорение точки А в системах отсчёта К и К'.

Положение начала отсчёта движущейся системы относительно системы отсчёта К определяется вектором r ₀.

Положение точки А в системе К по условию определяется вектором r, положение точки А в системе К вектором r '. которые, как видно из рисунка, связаны соотношением

r = r _o + r ¢.

Пусть за время dt точка А совершит в системе отсчёта К перемещение d r. Перемещение точки в системе К равно сумме перемещения d r ₀ системы К' относительно системы К и перемещения d r ' точки А относительно системы К':

d r =d r _o +d r ¢.

Если поделить выражение для перемещений на dt, то получим связь скоростей:

v = v _o + v ¢,

где v - скорость точки А относительно неподвижной системы отсчёта, v ' - скорость точки А относительно движущейся системы отсчёта v ₀ - скорость движущейся системы отсчёта относительно неподвижной.

Взяв производную по времени от выражения для скоростей, получим связь ускорений:

a = a _o + a ¢.

Из последнего выражения видно, что если система отсчёта К ^¢движется равномерно относительно системы К, т.е. если a _о=0, то ускорения точки в движущейся и неподвижной системах отсчёта одинаковы а = а '.

Спроецировав векторные уравнения на оси координат и учитывая, что r _o= v _o t = v _o t ¢,получаем:

x = x ¢+ vt ¢ y = y ¢ z = z ¢ t = t ¢.

Эти выражения и представляют собой преобразования Галилея. Если известны координаты, скорость и ускорение тела в какой-либо системе отсчёта и скорость другой системы отсчёта относительно данной системы, то преобразования Галилея позволяют вычислить значения всех кинематических характеристик рассматриваемого тела в другой системе отсчёта.

· три независимые величины нужны в том случае, когда рассматривается движение в трёхмерном пространстве; в одномерном пространстве достаточно одной координаты

· на рисунке бесконечно малое перемещение заменено на конечное

· Термин "тело" будет использоваться вместо термина "абсолютно твёрдое тело".

· Учтите, что это соотношение верно только для бесконечно малых поворотов d j

Дата добавления: 2015-07-08