Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной C равна 0, DC = 0, С = const.

Доказательство. DC = M (С – MC)² = М (С – С) = 0.

2. D (CX) = С ² DX.

Доказательство. D (CX) = M (CX)² – M ²(CX) = C ² MX ² – C ²(MX)² = C ²(MX ² – M ² X) = С ² DX.

3. Если X и Y – независимые случайные величины, то

Доказательство.

4. Если Х ₁, Х ₂, … не зависимы, то .

Это свойство можно доказать методом индукции, используя свойство 3.

5. .

Доказательство. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1)²D(Y) = DX + D(Y).

6.

Доказательство. D(C+X) = M(X+C–M(X+C))² = M(X+C–MX–MC)² = M(X+C–MX–C)² = M(X–MX)² = DX.

Пусть – независимые случайные величины, причем , .

Составим новую случайную величину , найдем математическое ожидание и дисперсию Y.

; .

То есть при n ®¥ математическое ожидание среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин остается неизменным, равным математическому ожиданию а, в то время как дисперсия стремится к нулю.

Это свойство статистической устойчивости среднего арифметического лежит в основе закона больших чисел.

Дата добавления: 2015-07-08