Характеристики вариации случайной величины

Характеристики вариации дают представления о степени отклонения случайной величины от центра группирования. Одной из характеристик вариации является среднее модуля отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Для дискретной случайной величины

,

для непрерывных

.

Данную характеристику используют редко, так как выражение задается разными функциями на разных участках. Этого недостатка лишены дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Определение 1. Дисперсией случайной величины X называют число, равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

. (1)

Если Х – непрерывная, то . (2)

Если Х – дискретная, то . (3)

Формулы (2) и (3) следуют из определения дисперсии и теорем 1 и 2 лекции 13. Часто пользуются другой формулой

. (4)

Доказательство.

Определение 2. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии: .

Пример1. Пусть Х – погрешность регистрации веса при взвешивании на весах с ценой деления 1 кг. Y – погрешность с ценой деления 2 кг. Найти DX, DY, σ_x, σ_y.

Будем считать, что погрешности Х и Y равномерно распределены соответственно на интервалах (–0,5; 0,5) и (–1; 1), .

Тогда

Пользуясь выведенной формулой, получим – ; ; ; .

По условию задачи один из весов вдвое точнее других, а дисперсии отличаются в четыре раза, в то время как среднеквадратические отклонения отличаются в два раза. Таким образом, среднеквадратическое отклонение может служить мерой точности приборов. Заметим, что единица измерения дисперсии – кг², а единица измерения среднеквадратического отклонения – кг, т.е. среднеквадратическое отклонение измеряется в тех же величинах, что и исходная величина.

Дата добавления: 2015-07-08