Логарифмическая функция

Пусть а — положительное число, а ≠ 1.
Определение. Функцию, заданную формулой y = log_ax, называют логарифмической функцией с основанием а.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R ₊, т. е. D (log _a) = R₊.

2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

, а =2, 2 > 1

  , а = , 0< <1

 

x
y	-3	-2	-1

 

x
y	-2	-1		-1	-2

Функция возрастающая (при увеличении значения х значение у увеличивается).

Функция убывающая (при увеличении значения х значение у уменьшается).

Логарифмическая функция и показательная функция , где (a > 0, a ≠1), взаимно обратны (и их графики симметричны относительно прямой y = x).

Пример 1. Найдем область определения функции f (x) = (4 - 5 x).

Область определения логарифмической функции — множество R₊. Поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых 4 - 5 х > 0, т. е. при x < 0,8. Следовательно, областью определения заданной функции является интервал (- ; 0,8).

Пример2. Найдем область определения функции f (x) = (x ² - 3 x - 4).

Функция f определена для всех тех х, при которых х ² —З х —4>0.

Решая это квадратичное неравенство, получаем, что D (f) = (- ; -1) ∪ (4; ).

Пример3. Сравним числа: a) 5 и 7; б) ; в) 10 и 12.

а) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 7 > 5, то 5 > 7.

б) В данном случае основание логарифма меньше 1, поэтому функция убывает, и, следовательно,

в) Заметим, что 10 > 9 = 3², и поэтому 10 > 2, с другой стороны, 12 < 16 = 4², и, следовательно, log₄ 12 < 2. Итак, 10 > log₄12.

---

Дата добавления: 2015-07-10