Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема (1^я теорема Больцано-Коши). Если функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения разных знаков (f (a)× f (b)<0), то существует точка сÎ(a;b): f (c)=0.

Геометрический смысл.

у

	y = f (x)

a b х

c

Теорема (2^я теорема Больцано-Коши). Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], причём f (а)=А, f (b)=B и A ≠ B. Тогда " СÎ(A;B) $ cÎ(a;b): f (c)=C (непрерывная функция на отрезке принимает все значения промежуточные между её значениями на концах отрезка).

Теорема(1^я теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.

Замечание: Теорема неверна, если отрезок заменить интервалом.

Теорема(2^я теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значения.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то множество её значений будет отрезком [m;M], где m= f (x), M= f (x).

Задачи

1. Пользуясь вторым определением непрерывности функции, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке x₀ÎR.

а) f (x)=x² б) f (x)=sin x в) f (x)=1/x² г) f (x)=4x²-5x+2

2. Вычислить односторонние пределы.

а) б) в) г)

д) е)

3. Используя лишь графическое изображение функции сделать заключение о характере точек разрыва функции.

4. Установить область непрерывности функции, найти её точки разрыва и определить характер разрыва

а) б) в) г)

д) ) е) ж) з)

5. Исследовать функцию на непрерывность и построить график

а) б) в)

6. Дана функция .

При каких А функция будет непрерывной в точке х=3. Построить график.

7. Исследовать функцию на непрерывность в указанных точках

а) б)

Дата добавления: 2015-07-10