Основные теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность функций

Справочный материал

1.

Определение 2. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если 1) y = f (x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности; 2) ( y)=0 - бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. 3)  

Непрерывность функции

Определение 1. Функция y = f (x) называется

непрерывной в точке х₀, если

1) y = f (x) определена в точке х₀ и некоторой её

f(x)

окрестности;

2) существует конечный;

3) f(x)=f (x₀)

Непрерывность функции в интервале (на отрезке).

Определение 3. Функция y = f (x) называется непрерывной в интервале (a; b), если она непрерывна в любой точке этого интервала.

Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в интервале (a;b) и в точке а непрерывно справа ( f(a)), а в точке b непрерывна слева ( f(b)).

Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного исключение составляют те значения аргумента, в которых делитель равен нулю).

Теорема 2. Пусть u = (x) непрерывна в точке х₀, а функция y = f (u) непрерывна в точке u₀, где u₀= (x₀). Тогда сложная функция y = f ( (x)) непрерывна в точке х₀ ( f( (x))= f ( (x))).

Теорема 3. Если функция y = f (x) непрерывна в точке х₀ и имеет однозначную обратную функцию, то обратная также непрерывна в точке y₀ = f (x₀).

Теорема 4. Основные элементарные функции непрерывны в области определения.

Следствие. Все элементарные функции непрерывны в области определения.

4. Точки разрыва функции (в них нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции)

Точки разрыва

Разрыв 1^го рода $ f (x) и $ f (x)    

Разрыв 2^го рода (бесконечный, неустранимый разрыв) хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует

Разрыв скачок A= f (x)¹ f (x)=B где |A-B| - скачок

Устранимый разрыв f (x)=A¹ f (x₀) или y = f (x) не определена в точке х₀

Дата добавления: 2015-07-10