Сжатие с изгибом для стержней

Сжатие с изгибом

Сжатие с изгибом для балок или для стержней с большой изгибной жесткостью.

Аналогично разделу 4 получим:

Перемножим все слагаемые на R_C = Ru и получим:

погрешность в запас до 6%.

Сжатие с изгибом для стержней

Сжато-изгибаемые элементы

Работают одновременно на сжатие и изгиб. Так работают, например, верхние сжатые пояса ферм, нагруженные дополнительно межузловой поперечной нагрузкой, а также при эксцентричном приложении сжимающей силы (внецентренно-сжатые элементы).

В сечениях сжато-изгибаемого элемента возникают равномерные напряжения сжатия от продольных сил N и напряжения сжатия и растяжения от изгибающего момента М, которые суммируются.

Искривление сжато-изгибаемого элемента поперечной нагрузкой приводит к появлению дополнительного изгибающего момента с с максимальным значением:

М_N=N·f, где

f – прогиб элемента.

Расчет на прочность сжато-изгибаемых элементов выполняют по формуле:

, где

Рассмотрим шарнирно опёртый стержень под действием нагрузки q:

f₀ – максимальный прогиб.

К стержню в деформированном состоянии приложим продольную силу N.

Ось стержня получит дополнительное перемещение, максимальный прогиб – f_n. Пусть изогнутая ось стержня будет синусоидой при действии только нагрузки q, а также при совместном действии q и N.

(1)

Задача решается в рядах Фурье, но с использованием только первого члена ряда. Полный момент от действия q и N будет равен:

(2) M_nx = M_qx + N × f _nx – учёт деформированной оси.

Дифференцированное уравнение изогнутой оси балки:

(3)

Разделим все слагаемые уравнения (2) на EI

(4)

Заменим все слагаемые их частными производные:

(5)

Продифференцируем выражение (1) два раза и запишем в формулу (5)

(6)

Сократим sin; разделим все слагаемые в формуле (6) на

(7)

(8)

- Эйлерова критическая сила

Выразим f₀ через M и N, для этого запишем:

(9)

(10)

Поставим значение f_n = f₀ / _ξ; ; в формулу (2) и после простых преобразований (11)

ξ - учитывает увеличение изгибающего момента или увеличение прогиба за счет деформации оси стержня при совместном действии q и N.

(12) перерезывающая сила.

Расчётная формула при сжатии с изгибом деревянного стержня:

СНиП (13)

Ограничения для ξ

1) 0< ξ <1

;

ξ – получено правильно только для упругой работы материала (при λ > 70)

При λ < 70определяется ξ приближённо.

Приступая к расчету, можем задаться малой площадью А и получим большое λ, так, что слагаемое , а ξ станет «–» - отрицательным, что не имеет физического смысла. В этом случае увеличиваем А, пока ξ станет > 0.

2) если доля изгиба очень мала , то требуется дополнительная проверка по формуле центрально-сжатого стержня, (например для безмоментной арки)

3) Если нагрузка отличается от плавной (распределённой или синусоидной), например в виде сосредоточенных сил или моментов, тогда ξ = ξ × К_н, К_н- поправочный коэффициент в СНиПе.

4) При действии произвольной нагрузки поперечной раскладываем нагрузку на

прямосиметричную и кососиметричную.

М _деф – момент с учетом деформированной схемы.

Формула (13) – это формула прочности, мы имеем напряжение краевые с учетом деформируемой схемы. По этой формуле проверяют прочность рам, куполов, арок, верхних поясов ферм и т.д., но она сделана только для упругой работы стержня.

Дата добавления: 2015-07-10