Приращение аргумента и функции

Понятие непрерывности функции в точке

Основные понятия и определения

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Задание. Вычислить предел

Решение.

Ответ.

Приращение аргумента и функции

Рассмотрим функцию , которая определена в некотором интервале и рассмотрим произвольную точку из этого интервала: .

Приращением аргумента в точке называется разность

Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что .

Приращением функции в точке называется разность соответствующих значений функции или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

Задание. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Функция определена в любой точке из . Найдем приращение заданной функции произвольной точке :

Тогда

А тогда делаем вывод, что функция является непрерывной.

Ответ. Функция является непрерывной.

Дата добавления: 2015-07-10