Задание № 1. Задача линейного программирования игры

Числовые условия задания:

= 10×9+100=190;

=50×6+200=500;

=0,5×(9+6+2)=8,5

= 9 = 6.

Фирма постоянно поставляет на рынок новинки видеозаписей. Себестоимость одного диска (диск, работа, лицензионные отчисления) равна 190 рублей. В первую неделю продаж диск позиционируется как новинка и продается в собственном магазине по цене 500 руб. за штуку. Со второй недели цена дисков резко падает, и они передаются в торговые сети по остаточной стоимости 40 руб. за диск. Директор фирмы знает, что за первую неделю, возможно, продать от 2 до 4 коробок с дисками по 500 штук в каждой. Вероятность спроса равна 30% для 2 коробок, 50% для 3 коробок и 20% для 4 коробок. Если сделать скидку на диски, равную 3%, то вероятность спроса поменяется и будет равна 20% для 2 коробок, 40% для 3 коробок и 40% для 4 коробок.

Цель: определить оптимизацию прибыли фирмы.

1. Определить оптимальную стратегию поведения фирмы для оптимизации прибыли. Имеет ли смысл делать скидку на фильмы?

2. Определить, какова максимальная стоимость информации о реальном спросе на конкретную видеозапись? Имеет ли смысл делать скидку в этом случае?

Подсказка: предложения со скидкой и без нее рассмотреть как отдельные возможные стратегии статистика с зависящими от них вероятностями состояний природы.

Решение:

С₁=2×500×500+40×2×500-190×4×500=160000

С₁=3×500×500+40×1×500-190×4×500=390000

С₁=4×500×500+40×0×500-190×4×500=620000

С₂=2×500×500×0,915+40×2×500-190×4×500=117500

С₂=3×500×500×0,915+40×1×500-190×4×500=326250

С₂=4×500×500×0,915+40×0×500-190×4×500=535000

Таблица 1.

Игра с природой

	160000 0,3	390000 0,5	620000 0,2
	117500 0,2	326250 0,4	535000 0,4

Критерий Байеса (Bayes) (статистический, наибольшего среднего результата, максимального математического ожидания)

В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется средний ожидаемый результат как сумма произведений вдоль строки результатов на их вероятности:

Лучшей по критерию Байеса считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

Место критерия Байеса. Как следует из сути и альтернативных названий этого критерия, он наилучшим образом соответствует ситуации многократной повторяемости, когда лучший средний результат приведет к лучшему общему итогу. Если рассматриваемая ситуация выбора решения будет часто повторяться при неизменных условиях, то выбор наилучшей стратегии по критерию Байеса представляется наилучшим. В остальных случаях этот критерий разумно использовать лишь как ориентировочный.

Отметим, что только в этом критерии используются значения вероятностей состояний. В остальных критериях используются только значения выигрышей.

Применим критерий Байеса к нашему примеру.

В₁=160 000×0,3+390 000×0,5+620 000×0,2=367 000

В₂=117 500×0,2+326 250×0,4+535 000×0,4=367 900

B_I= max(367 000; 367 900)=367900 =B₂ =>C₂®The best (Bayes)

Таким образом, по критерию Байеса наилучшей является стратегия C₂, то есть средний лучший результат приносит стратегия привлечения только финансовых консультантов.

Если фирма-исполнитель постоянно выполняет аналогичные проекты для схожих заказчиков, то общий результат деятельности будет наилучшим при выборе именно второй стратегии. Если такой заказ имеет разовый характер, то критерий Байеса является менее предпочтительным.

Критерий Вальда (Wald) (пессимизма, наибольшего худшего результата, максимина)

В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется наименьший достижимый результат как минимальный элемент в строке:

Лучшей по критерию Вальда считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

Место критерия Вальда. Как следует из сути и альтернативных названий этого критерия, он наилучшим образом подходит для ситуации, в которой необходимо получить наименее «плачевный» результат в самом худшем случае, максимум минимального дохода или минимум максимальных потерь. Критерий соответствует пессимистично настроенному лицу, принимающему решения, когда для него страх проигрыша значительно важнее выигрыша. Выбирая стратегиюпо критерию Вальда мы можем твердо рассчитывать на полученный при ее определении результат даже при самом плохом стечении обстоятельств.

Применим критерий Вальда к нашему примеру.

W₁= min (160 000; 390000; 620 000) =160 000

W₂= min (117 500; 326 250; 535 000) =117 500

W_I= max (160 000; 117 500) = 160 000 = W₁ => C₁®The best (Waid)

Таким образом, по критерию Вальда наилучшей является стратегия C₁,то есть при привлечении научных и финансовых консультантов мы в самом худшем случае получим наибольший выигрыш.

Критерий оптимизма (максимакса, крайнего оптимизма)

В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется наибольший достижимый результат как максимальный элемент в строке:

Лучшей по критерию оптимизмасчитается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

Место критерия оптимизма. Как следует из сути и названий этого критерия, он наилучшим образом подходит для ситуации, в которой игрок настроен крайне оптимистично и рассчитывает на наибольший успех. Критерий хорошо работает в случае, когда потери для игрока в рассматриваемой ситуации мало значимы. Он так же соответствует случаю, когда все стратегии во всех вариантах приводят к заметным выигрышам и можно «рискнуть» понадеяться на самый крупный из них.

Результат применения этого критерия бывает обычно заранее понятным. Как правило, этот критерий для анализа игр с природой не используется, а используется более «взвешенный» критерий Гурвица.

Применим критерий оптимизма к нашему примеру.

O₁= max (160 000; 390000; 620 000) =620 000

O₂= max (117 500; 326 250; 535 000) = 535 000

O_I= max (620 000; 535 000) = 620 000 = O₁ => C₁ ®The best (optimism)

Таким образом, по критерию оптимизма наилучшей является стратегия , то есть наибольший возможный выигрыш есть шанс получить только выполняя проект своими силами без привлечения консультантов.

Критерий Гурвица (Hurwich) (пессимизма-оптимизма, компромиссный)

В этом критерии для каждой стратегии определяется «взвешенный» результат из самого пессимистического и самого оптимистического для данной стратегии. Вес каждого определяется так называемыми коэффициентами пессимизма и оптимизма, сумма которых равна единице.

Обычно в задаче задается лишь коэффициент пессимизма (или , или , или ϰ). Коэффициент оптимизма равен, соответственно, . Значение этого коэффициента определяется личными особенностями лица, принимающего решения в данной ситуации и никак не зависит от вида самой матрицы.

После задания коэффициента пессимизма и коэффициента оптимизма для каждой стратегии находят пессимистический вариант и оптимистический вариант и вычисляют параметр Гурвица:

Лучшей по критерию Гурвица считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

Место критерия Гурвица. Данный критерий является компромиссным между прошлыми двумя и служит для учета как лучших, так и худших вариантов стратегий.

Варианты применения критерия Гурвица. В некоторых случаях считается разумным вместо лучшего (худшего) вариантов использовать средний результат между несколькими лучшими (худшими) значениями. Встречаются случаи, когда для критерия Гурвица используют лучшее (худшее) значение, вероятность которого не меньше заданной величины. Тем самым отсекаются крайне редко реализуемые предельные значения.

Для решения задач будем использовать критерий Гурвица в классической постановке, а коэффициент пессимизма будем задавать явно в условии задачи.

Применим критерий Гурвица к нашему примеру. Коэффициент пессимизма возьмем равным . Тогда коэффициент оптимизма равен .

H₁= 0,6×160 000 + 0,4×620 000 = 344 000

H₂= 0,6×117 500 + 0,4×535 00 = 284 000

H_I= max (344 000; 284 000) = 344 000 =H₁ =>C₁®The best (Hurwich)

Таким образом, по критерию Гурвица наилучшими оказалась стратегия: C₁, то есть по этому критерию предпочтительно привлекать научных и финансовых консультантов или только финансовых консультантов.

Критерий Сэвиджа (Savage) (минимального максимального риска)

В этом критерии сначала строится матрица (таблица) рисков. Алгоритм построения матрицы такой.

1. Матрица рисков строится по столбцам.

2. В каждом столбце находим самое большое значение выигрыша.

3. Из этого значения по очереди вычитают все значения в данном столбце и записывают результат в те же позиции.

Символьно эту процедуру можно записать в таком виде:

Построим матрицу рисков в нашем примере.

Максимальный элемент в первом столбце исходной матрицы вычитаем из остальных элементов столбца, получим:

Таким образом, матрица рисков для нашего примера будет иметь вид:

Экономический смысл матрицы рисков. Элементы матрицы рисков показывают каково «недополучение» оптимальной прибыли из-за неверного выбора стратегии при данном состоянии природы.

Далее в каждой строке матрицы рисков определяется наибольший результат (максимальный элемент в строке):

Лучшей по критерию Сэвиджа считается та стратегия, для которой этот результат наименьший:

Место критерия Сэвиджа. Риск аналогичен отставанию. Таким образом, данный критерий наиболее соответствует ситуации в которой игроку важнее не отстать от конкурентов, находящихся в аналогичных условиях, нежели много выиграть или как можно меньше проиграть.

Применим критерий Сэвиджа к примеру:

S₁= max (0; 0; 0) = 0

S₂= max (42 500; 63 750; 85 000) = 85 000

S_I= min (0; 85 000) = 0 = S₁ => C₁ ® The best (Savage)

Таким образом, по критерию Сэвиджа наилучшей является стратегия C₁, то есть при привлечении только финансовых консультантов мы рискуем потерять наименьшее значение относительно других возможных вариантов.

Дата добавления: 2015-07-10